【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用课件

第一章解三角形§1.1算法与程序框图第三课时正弦定理、余弦定理的综合应用课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式．2．巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题.课前热身解三角形问题的几种类型．在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况名师讲解在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论．课堂互动探究剖析归纳触类旁通正、余弦定理的综合应用一【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosc＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．典例剖析【分析】(1)利用正弦定理将已知转化为B三角函数，可求B；(2)由△ABC的面积S＝12acsinB知，求S的最大值，只要求ac的最大值，可利用余弦定理及基本不等式可解．【解】由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①②得sinCsinB＝cosBsinC.又0Cπ，sinC≠0，得sinB＝cosB.又0Bπ，所B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得△＝a2＋c2－2accosπ4≥2ac－2ac.所以ac≤42－2＝22(2＋1)．当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.判断三角形的形状二【例2】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【分析】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)，进行边角间的相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断．【解】解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝22.从而B＝45°，∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得a＝2b·a2＋b2－c22ab，即a2＝a2＋b2－c2.即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形．综上知，△ABC为等腰直角三角形．规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.综合应用三【例3】如图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．【分析】本题图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD中，已知两边和一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到其与△BCD的联系．可再考虑用余弦定理求出BD，其恰是两个三角形的公共边，这样可在△BCD中应用正弦定理求BC.【解】在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0.∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD.∴BC＝BD·sin∠CDBsin∠BCD＝16·sin30°sin135°＝82.规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程(组)求解.易错探究对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的都填上)【错解】①②③【错因分析】①、②丢解，造成错解．①sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π.∴A＝B，或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错．②sinA＝cosB，∴A＋B＝π2，或A－B＝π2.∴△ABC为直角三角形或钝角三角形，故②错．③sin2A＋sin2B＋cos2C1，∴sin2A＋sin2B1－cos2C.∴sin2A＋sin2Bsin2C.由正弦定理，得a2＋b2c2.∴△ABC是钝角三角形，故③正确．【正解】③随堂训练1.△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2RsinB·cosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.整理得sin(B－C)＝0.因为0°B180°，0°C180°，∴－180°B－C180°，∴B－C＝0°，∴B＝C，故选A.答案A2．已知△ABC中，B＝30°，b＝503，c＝150，求a.解由正弦定理，有csinC＝bsinB，∴sinC＝c·sinBb＝150sin30°503＝32.由于0°C150°，∴C＝60°，或C＝120°.当C＝60°时，A＝180°－B－C＝90°，于是a＝b2＋c2＝5032＋1502＝1003；当C＝120°时，A＝180°－B－C＝30°，于是a＝b＝503，∴a＝503，或1003.3．如图所示，四边形ABCD中，已知∠A＝120°，∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝33，BD＝7，求：(1)AB的长；(2)CD的长．解(1)在△ABD中，设AB＝x，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，即72＝x2＋32－2x·3·cos120°，∴x2＋3x－40＝0，(x－5)(x＋8)＝0，∴x1＝5，或x2＝－8(舍)，即AB＝5.(2)在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD＝BDsin120°，即3sin∠ABD＝7sin120°，∴sin∠ABD＝3sin120°7＝3314.在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD＝27＋49－2×33×7cos(90°－∠ABD)＝27＋49－2×33×7×3314＝49，∴CD＝7.4．设△ABC的角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值；(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．解(1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc，又∵3b2＋3c2－3a2＝42bc，∴cosA＝223，∴sinA＝1－cos2A＝13.(2)由(1)知1－cos2A＝2sin2A＝29，sinB＋C＋π4＝sinπ－A＋π4＝sinA－π4，∴2sin(A＋π4)sin(A－π4)＝2·22(sinA＋cosA)·22(sinA－cosA)＝sin2A－cos2A＝19－89＝－79，∴2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A＝－7929＝－72.