正弦定理习题课

[例1]在△ABC中，已知a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.[思路点拨]先由三角形的内角和定理求出A，再用正弦定理求边c.正弦定理习题课返回[精解详析]由三角形内角和定理知A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理，有asinA＝csinC，∴c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin60°＋45°sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2)．返回[一点通]本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．返回1．本例中，把“C＝105°”改为“C＝30°”，求c.解：由三角形内角和知，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理，有asinA＝csinC，∴c＝asinCsinA＝5·sin30°sin105°＝5×126＋24＝52(6－2)．返回2．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.解：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得asinA＝csinC＝2R，∴c＝a·sinCsinA＝10×3222＝56.∴2R＝asinA＝1022＝102.R＝52.返回[例2]在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，求B、C和c.[思路点拨]先利用正弦定理求角B，再利用内角和定理求解．由正弦定理求边c.返回[精解详析]由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，又a＝23，b＝6，ab∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.返回[一点通]已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以有两解、一解和无解三种情况，具体步骤是(1)利用正弦定理求出另一边的对角的正弦；(2)利用三角形中“大边对大角”判断解的个数；(3)如果有解，再利用三角形内角和定理求出第三个角；(4)利用正弦定理求出第三边．返回3．本例中，把“a＝23”改为“a＝2”，解三角形．解：已知a＝2，b＝6，A＝30°，根据正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°2＝32.∵sinB≤1，而321，∴本题无解．返回4．已知b＝10，c＝56，C＝60°，解三角形．解：∵sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，且b＝10，c＝56，bc，C＝60°.∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．返回5．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c.解：由正弦定理asinA＝bsinB.得sinA＝32，∵ab，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22.返回当A＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－120°－45°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.返回[例3](12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．返回[思路点拨](1)先利用三角形内角和定理用A表示C，再用和差公式求sinC；(2)利用正弦定理求出a的值，然后由公式S＝12absinC计算面积．返回[精解详析](1)∵A、B、C为△ABC的三个内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35(3分)∴sinC＝sin(2π3－A)＝32cosA＋12sinA＝3＋4310(6分)返回(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310，又B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理，得a＝bsinAsinB＝65(9分)∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350(12分)返回[一点通]1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．返回2．在解三角形时经常用到以下关系式，要记准、记熟，并能灵活运用．A＋B＋C＝π；sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.返回6．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＝23，求三角形ABC的面积．解：由正弦定理asinA＝bsinB得b＝asinBsinA＝23sin45°sin60°＝22，返回又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6＋24.∴三角形的面积是S△ABC＝12absinC＝12×23×22×6＋24＝3＋3.返回7．已知在△ABC中，c＝22，a＞b，C＝π4，tanA·tanB＝6，试求a，b及三角形的面积．解：tanA＋tanB＝tan(A＋B)·(1－tanA·tanB)＝－tanC(1－6)＝－tanπ4×(－5)＝5.所以tanA＞0，tanB＞0.即A、B皆为锐角，且a＞b.则tanA＞tanB，所以tanA＝3，tanB＝2.所以sinA＝31010，sinB＝255.返回由正弦定理得a＝csinAsinC＝22×3101022＝6105，b＝csinBsinC＝22×25522＝855.所以S△ABC＝12absinC＝12×6105×855×22＝245.返回1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，是解三角形的重要工具．利用正弦定理可以解以下两类三角形：(1)已知两角和任一边，求未知边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．此类问题有多解、一解、无解的情况，需要进行讨论．返回2．在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角图像关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinA解的个数一解两解无解A为钝角或直角图像关系式a＞ba≤b解的个数一解无解