三重积分的各种计算方法

三重积分的各种计算方法计算：   ()fxyzdxdydz，，.当积分区域的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () fxyz，，用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标 (  )Fzdddz，，()2      s()inrFrdrdd，或，计算三重积分比较简单。——重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：_____________________________________________________________________1.如果先做定积分21 () zzfxyzdz，，，再做二重积分(,)xyDFxyd，就是投影法，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影区域D。过D上一点()    xy，“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]   xyzxyDzxyfxyzdvfxyzdzd=_____________________________________________________________________2.如果先做二重积分zDdzyxf),,(再做定积分21)(ccdzzF，就是截面法，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面1 zc=与2  zc=之间，即12[,]  zcc，过z作平行于xoy面的平面截，截面zD。区域zD的边界曲面都是z的函数。计算区域zD上的二重积分zDdzyxf),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分21)(ccdzzF，完成“后一”这一步，即21(,,)[(,  ,)]zccDfxyzdxdydzfxyzddz=当被积函数()fz仅为z的函数（与    xy，无关），且zD的面积)(z容易求出时，“截面法”尤为方便。_____________________________________________________________________为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)：(1)D是    X型或    Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；(2)D是圆域（或其部分），且被积函数形如22    ()( )yfxyfx+，时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；(3)是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222zyxf++时，可选择球面坐标系计算。以上是一般常见的三重积分的计算方法，对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数()  fxyz，，的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：zD是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对zD积分时，(),,fxyz与  ,  xy无关，可直接计算zDS。因而中只要 [] zab，,且(),,fxyz仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或22 ()zfxy+时，可考虑用柱坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分=zdxdydzI，其中为平面1=++zyx与三个坐标面000  xyz===，，围成的闭区域。解法一：“投影法”1.画出及在xoy面投影域D。2.“穿线”yxz−−10X型D：xyx−1010∴：yxzxyx−−−1010103.计算.Izdxdydz=111000xyxIzdxdydzdxdyzdz−−−==112001(1)2xdxxydy−=−−122310011[(1)(1)]23xxyxyydx−=−−−+241]4123[61)1(6110410323=−+−=−=xxxxdxx解法二：“截面法”1.画出。2.[01]  z，过点z作垂直于z轴的平面截得zD。zD是两直角边为 xy，的直角三角形，    11xzyz=−=−，3.计算10[]zDIzdxdydzzdxdydz==1100[]zzDDzdxdydzzSdz==110011()(1)(1)22zxydzzzzdz==−−123011(2)224zzzdz=−+=补例2：计算22xydxdydz+，其中是222zyx=+和1z=围成的闭区域。解法一：“投影法”1.画出及在xoy面的投影区域D.由2221zxyz=+=消去z，得122=+yx即D：122+yx2.“穿线”122+zyx，X型D：−−−−221111xyxx∴+−−−−11111:2222zyxxyxx3.计算22xydxdydz+解：22xydxdydz+2221112211xxxydxdyxydz−−−−+=+2211222211(1)xxdxxyxydy−−−−=+−+6=（注：可用柱坐标计算。）解法二：“截面法”1.画出。10020:zzr2.]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD：222zyx+zD：zr020下面用柱坐标计算积分结果3.计算：122220[]zDxydxdydzxydxdydz+=+122000[]zdrdrdz=1133000122[]33zrdzzdz==6=补例3：化三重积分=dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中是由222x2z2−=+=及yxz所围成的闭区域。解：使用“投影法”1.画出及在xoy面上的投影区域D.由22222zxyzx=+=−消去z，得122=+yx即D：122+yx2.“穿线”22222xzyx−+X型D：−−−−221111xyxx：22222111122xxyxxyzx−−−−+−3．计算−−−−−+==11112222222),,(),,(xxxyxdzzyxfdydxdxdydzzyxfI注：当),,(zyxf的解析式已知时，可用柱坐标计算。补例4：计算zdxdydz，其中为22226yxzyxz+=−−=及所围成的闭区域。解法一：使用“投影法”1.画出及在xoy面的投影区域D，用柱坐标计算由===zzryrxsincos化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r2.解262==−=rrzrz得∴D：2r即2020r“穿线”26rzr−∴−262020:rzrr3．计算.zdxdydz26[]rDrzdxdydzzdzrdrd−=2222622600012[]2rrrrdrdrzdzrzdr−−==22220[(6)]rrrdr=−−2250(3613)rrrdr=−+923=解法二：“截面法”1.画出，如右图：由rzrz=−=及26围成。2.]6,2[]2,0[]6,0[=z21+=1由z=r与z=2围成；]2,0[z，zD：zr1：20020zzr2由z=2与z=26r−围成；]6,2[z，zD：zr−62：−626020zzr3.计算.zdxdydz解：12zdxdydzzdxdydzzdxdydz=+122602[][]zzDDzrdrddzzrdrddz=+122602zzDDzSdzzSdz=+262202[()][(6)]zzdzzzdz=+−263202(6)zdzzzdz=+−923=注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例5：计算22()xydxdydz+，其中由不等式Azyxa++2220，0z所确定。解：用球坐标计算。由===cossinsinsincoszyx得的边界曲面的球坐标方程：AaP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结PO，其与x轴正向的夹角为。∴：Aa，20，202/22222200()(sin)sinAaxydxdydzddd+=/235012sin[]5Aad=/255302()sin5Aad=−5522()153Aa=−554()15Aa=−三重积分的计算方法练习1.计算22)xydxdydz+（，其中是旋转抛物面zyx222=+与平面z=2,z=8所围成的闭区域。2.计算)xzdxdydz+（，其中是锥面22yxz+=与半球面221yxz−−=所围成的闭区域。