1.3三角函数的诱导公式(张奕辉用简)

1.3三角函数的诱导公式（一）诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2)sincos(2)costan(2)tankkk作答：作用是把求任意角的三角函数值转化为0到角的三角函数值.2思考2:给定一个角α.（1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角-α的的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？的终边－yxOA(1,0)r=1α的终边＋的终边－1(,)Pxyα的终边xyO角α的终边与单位圆的交点坐标为P1(x,y).角的终边与单位圆的交点的坐标为．2P,xy1(,)Pxy2P由三角函数的定义得：sincostanyxyxsin()cos()tan()yxyx诱导公式（二）sin()sincos()costan()tanxyO1(,)Pxy诱导公式（三）sin()sincos()costan()tan正弦正切为奇函数、余弦为偶函数。sincostanyxyxyxyxxyO1(,)Pxy4(,)Pxysin()sincos()costan()tan诱导公式（四）sincostanyxyxyxyx)k(tan)2k(tan)k(cos)2k(cos)k(sin)2k(sinZZZ　　（公式一）tan)(tancos)cos(sin)sin(（公式二）tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式三）tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式四）讨论：观察四组公式，如何用一句话来概括？它们的作用是什么？简记为“函数名不变，符号看象限”.作用是把任意角的三角函数，转化成锐角的三角函数.、)k(2kZ、的三角函数值，等于α的同名三角函数值前面加上把α看作锐角时原函数值的符号.答：例1.求下列三角函数值225cos)1()45180cos(45cos22311sin)2()34sin(3sin23四.例题分析例1.求下列三角函数值)316sin()3(316sin)35sin()3sin(23)2040cos()4(2040cos)2403605cos(240cos)60180cos(60cos21四.例题分析例2化简解：cos180sin360.sin180cos180sin180sin180sin180sinsin,cos180cos180cos180cos,所以原式cossin1.sincos讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函数的步骤吗？任意负角的三角函数任意正角的三角函数锐角的三角函数用公式三或一的角的三角函数02～用公式一用公式二或四1.将下列三角函数转化为锐角三角函数：131cos92sin13sin54cos7064cos9sin1sin5cos7062.利用公式求下列三角函数值：1cos42072sin63sin1320794cos6121232323.化简1sin180cossin18032sincos2tan2sincos4sinsin(1440)cos(1080)3cos(180)sin(180)1例3、已知，是第四象限角，求的值53)cos(tan53cos)cos(53cos解：由得，又因为是第四象限角所以34tan课堂练习32sin334sin2)3sin(1、0)180cos()180sin()360sin()180cos(2、化简123233232【例1】求下列各式的值：（1）sin()；(2)cos(－60°)－sin(－210°)【审题指导】利用诱导公式将负角化为正角，进而化为锐角三角函数求值.43【规范解答】（1）sin()=433sin()sin332－；110.22－（2）原式=cos60°+sin(180°+30°)=cos60°－sin30°=【变式训练】求下式的值：2sin(－1110°)－sin960°+cos(-225°)+cos(-210°)【解析】原式=2sin(-3×360°-30°)-sin(2×360°+240°)+cos(180°+45°)+cos(180°+30°)=2sin(-30°)-sin240°-cos45°-cos30°==-2.2221323222222【例2】已知sin(π+α)=求cos(5π+α)的值.1,3【规范解答】因为sin(π+α)=所以sinα=当α是第一象限角时，cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα当α是第二象限角时，cos(5π+α)=cos(π+α)=综上，cos(5π+α)的值为1,31.32221sin.3222cos1sin.322.31.三角函数诱导公式的推导过程,理解“函数名不变，符号看象限”2.作用:将任意角的三角函数转化到锐角三角函数.1.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是()(A)α一定是锐角(B)0≤α＜2π(C)α一定是正角(D)α是使公式有意义的任意角【解析】选D.由诱导公式的概念可知，角α可以取使公式有意义的任意角.2.下列各式不正确的是()(A)sin（α＋180°）=－sinα(B)cos（－α＋β）=－cos（α－β）(C)sin（－α－360°）=－sinα(D)cos（－α－β)=cos（α＋β）【解析】选B.对于B，cos（－α＋β）=cos[-(α-β)]=cos（α－β），而不是－cos（α－β）.3.化简sin(－2)+cos(－2－π)tan(2－4π)所得的结果是()（A）2sin2(B)0(C)－2sin2(D)－1【解析】选C.sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)=-sin2+cos(2+π)·tan2=-sin2-cos2tan2=－2sin2.4.tan2011°与tan2012°的大小关系为______.【解析】tan2011°=tan(5×360°+211°)=tan211°=tan31°,同理tan2012°=tan32°.因为tan31°tan32°,所以tan2011°tan2012°.答案:tan2011°tan2012°5.化简【解析】原式=答案:-1costan7______.sincostan1.sinyx01-1-11P(x,y)P′(y,x)sinα.α)2πcos(cosα,α)2πsin(:公式五两角互余，一角正弦等于另一角余弦sinα.α)2πcos(cosα,α)2πsin(:公式六2sin因为2sin2sin4公式cos5公式总结：公式五，六口诀：函数名改变，符号看象限；sinα.α)2πcos(cosα,α)2πsin(:公式六sinα.α)2πcos(cosα,α)2πsin(:公式五1.已知α∈R，则cos()=()(A)sinα(B)cosα(C)-sinα(D)-cosα【解析】选C.cos()=-sinα.222.若cos65°=a，则sin25°的值是()【解析】选B.sin25°=sin(90°-65°)=cos65°=a.22AaBaC1aD1a3.若sin()0,且cos()0，则θ是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选B.sin()=cosθ0，cos()=sinθ0，∴θ是第二象限角.2222例1证明：（1）（2）3sincos23cossin.2证明:(1)3sinsin22sincos2证明:(2)3coscos22cossin.2例题α29πsinαπsinα3πsinαπcosα211πcosα2πcosαπcosα2πsin例2.化简tan等于)2sin()2sin(.)2cos(.)2cos(.)23sin(.DCBA　　A的值是则在第四象限，)23sin(54)2cos(54.53.53.53.DCBA　　　A【例】已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，求证：（1）cosA=-cos（B+C）；（2）BCAsincos.22【规范解答】（1）∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C),∴cosA=cos［π-（B+C）］=-cos（B+C）.（2）∵A+B+C=π，BCA222，BCAAsinsin()cos.2222【变式备选】已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）sin（A+B）=sinC；（2）【证明】（1）∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC.（2）∵A+B+C=π，ABCcossin.22ABC.222ABCCcoscos()sin.2222等于则10cos,280sinm221:1:::mDmCmBmA　　B)22cos()22sin(212cos2sin【互动探究】若cos(π-α)=则sin(5π+α）的值是多少？【解析】∵cos(π-α)=又α2π，∴sin(5π+α)=sin(π+α)=-sinα=13,2.3211,cos,33　322221cos.3【即时训练】化简【解析】原式==sin2n1sin2n1.sin2ncos2n［］［］sinsinsincos2sin2.sincoscos6.计算：sin315°-sin(-480°)+cos(-330°)【解析】原式=sin(360°-45°)+sin(360°+120°)+cos(-360°+30°)=-sin45°+sin60°+cos30°=23.2sin[(21)]2sin[(21)]().sin(2)cos(2)nnnZnn例4化简：sin[()2]2sin[()2]sin(2)cos(2)nnnnsin2sinsincosaaaa--=3cosa=-奎屯王新敞新疆解：原式=252525sincostan()6341.计算：＝．3sincos