极坐标和参数方程

课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）考纲要求考情分析1.了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.从近三年的高考试题来看，极坐标部分重点考查极坐标与直角坐标的互化，尤其是涉及直线与圆的极坐标方程问题，同时考查直线与圆的位置关系．如2012年陕西卷15，湖南卷10，辽宁卷3等．参数方程部分多考查直线与圆的参数方程及应用．如2012年广东卷14，属容易题．单独考查参数方程和极坐标的题目，一般为选择、填空题形式，分值4～5分．若综合考查参数方程和极坐标的知识，则通常以解答题形式出现，如2012年课标卷23，辽宁卷23等，分值10分．预测：2013年仍会以直线、圆的极坐标参数方程为载体，以极坐标参数方程与普通方程的互化为主要形式，考查直线与曲线位置关系等，解析几何知识注重基本运算及方程的应用，难度不大.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(对应学生用书P234)1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λxλ0y′＝μyμ0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）2．坐标系(1)极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做；自点O引一条射线Ox叫做；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．极点极轴课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）设M是平面上任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的，记为.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作．极径ρ极角θM(ρ，θ)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）3．简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为．几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点：和；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：；③直线过点M(b，π2)且平行于极轴：.ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)θ＝θ0θ＝π－θ0ρcosθ＝aρsinθ＝b课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r：；②当圆心位于M(a,0)，半径为a：；③当圆心位于M(a，π2)，半径为a：.ρ＝r2acosθρ＝2asinθ课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而与点的极坐标不是一一对应关系，当规定ρ≥0,0≤θ2π后点的极坐标与平面内的点就一一对应了．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）4．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝fty＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做．任意一点这条曲线上参数普通方程课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）5．几种常见曲线的参数方程(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是(t为参数)．x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究2：在直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离？提示：t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα.x＝a＋rcosαy＝b＋rsinα课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(3)椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是，其中φ是参数．x＝acosφy＝bsinφ课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究3：对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？提示：不是，如图，θ是离心角．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）高考中该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的问题，也有参数方程的问题，考生既可以通过极坐标解决，也可以通过直角坐标解决，但大多数情况下，把极坐标问题转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题．要重视把极坐标问题化为直角坐标问题，把参数方程化为普通方程的思想意识的形成，这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）1．(2011年北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1,0)D．(1，π)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）解析：ρ2＝－2ρsinθ∴x2＋y2＝－2y即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)∴圆心的极坐标为(1，－π2)．答案：B课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）2．(2011年安徽)在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．2B.4＋π29C.1＋π29D.3课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）解析：将点2，π3化为直角坐标为(1，3)，ρ＝2cosθ化为直角坐标系下方程为：(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)．∴两点间距离为3.答案：D课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是()A．一条平行于极轴的直线B．一条垂直于极轴的直线C．圆心在极轴上的圆D．过极点的圆解析：ρcosθ＝4化为直角坐标方程为x＝4答案：B课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）4．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0可得ρ＝1或θ＝π.ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，故选C.答案：C课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）5．(2012年陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．解析：将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为x＝12，(x－1)2＋y2＝1.所求的弦长等于212－122＝3.答案：3课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）6．若x2＋y2＝4，则x－y的取值范围是________．解析：令x＝2cosθ，y＝2sinθ，则x－y＝2cosθ－2sinθ＝22cos(θ＋φ)∈[－22，22]答案：－22≤x－y≤22课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(对应学生用书P235)极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的单位长度．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(1)(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)(2012年上海，改编)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝π6.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝______.在直角坐标系下的方程为______．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【解析】(1)∵x＝ρcosθy＝ρsinθ.∴x2＋y2＝ρ2.∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋4x.即(x－2)2＋(y－1)2＝5.∴x2＋y2－4x－2y＝0即(x－2)2＋(y－1)2＝5.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)法一：由点斜式得直线的直角坐标方程为y＝33(x－2)．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρ12cosθ－32sinθ＝1，即ρ＝1sinπ6－θ.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）法二：设直线上任意一点P(ρ，θ)，在△POM中，由正弦定理得ρsin56π＝2sinπ6－θ，即ρ＝1sinπ6－θ.由ρ＝1cosπ6－θ得ρcosπ6－θ＝112ρsinθ－22ρsinθ＝1∴x－2y－2＝0课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【答案】(1)x2＋y2－4x－2y＝0(答(x－2)2＋(y－1)2＝5也对)(2)1sinπ6－θ，x－2y－2＝0课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）在本例(2)中法一是由我们熟悉的直角坐标系下求出直线方程再