高中数学选修4-4极坐标与参数方程

第42练坐标系与参数方程专题9系列4选讲题型分析·高考展望高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.常考题型精析高考题型精练题型一极坐标与直角坐标的互化题型二参数方程与普通方程的互化题型三极坐标、参数方程及其应用常考题型精析题型一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长.解∵ρcos(θ＋π4)＝ρcosθcosπ4－ρsinθsinπ4＝22ρcosθ－22ρsinθ＝32，∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.解方程组x－y＝6y2＝8x，得x＝2y＝－4或x＝18y＝12，所以A(2，－4)，B(18,12)，所以AB＝18－22＋[12－－4]2＝162.即线段AB的长为162.点评(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1(2014·广东改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.解因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，得ρ2sin2θ＝ρcosθ，所以曲线C1的普通方程为y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲线C2的普通方程为y＝1.由y2＝x，y＝1得x＝1，y＝1，故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).题型二参数方程与普通方程的互化例2(2015·福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；由2ρsinθ－π4＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.解消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.解依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－－2＋m|2＝2，解得m＝－3±22.点评(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围.变式训练2(2014·福建)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程；解直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解因为直线l与圆C有公共点，解得－25≤a≤25.题型三极坐标、参数方程及其应用例3(2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；解曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值.解曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α).所以AB＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，AB取得最大值，最大值为4.点评(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义.(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.变式训练3(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；解由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解设P3＋12t，32t，又C(0，3)，则PC＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0).高考题型精练解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.123456781.(2015·江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sinθ－π4－4＝0，求圆C的半径.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.高考题型精练则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，12345678即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.高考题型精练123456782.(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长.圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0.高考题型精练12345678解直线l的参数方程x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，高考题型精练12345678圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝22＝2.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝22.3.(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；高考题型精练解因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.12345678高考题型精练12345678(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交解将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即MN＝2.故ρ1－ρ2＝2，即MN＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为12.点为M，N，求△C2MN的面积.高考题型精练12345678(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；4.(2015·湖南)已知直线l：x＝5＋32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.解ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②高考题型精练12345678设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，MA·MB＝|t1t2|＝18.高考题型精练123456789(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求MA·MB的值.解将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②式，得t2＋53t＋18＝0.5.(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；高考题型精练解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，12345678依题意，得x＝x1，y＝2y1.高考题型精练12345678由x21＋y21＝1得x2＋(y2)2＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝cost，y＝2sint(t为参数).高考题型精练(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.12345678解由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，高考题型精练12345678则线段P1P2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12(x－12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.高考题型精练12345678(t为参数)，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；6.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t，y＝1＋kt解由x＝ty＝1＋kt，高考题型精练12345678得直线l的普通方程为y＝kx＋1，由ρsin2θ＝4cosθ得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，y2＝4x，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.(2)若直线l和曲线C相切，求实数k的值.高考题型精练12345678解把y＝kx＋1代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当直线l与曲线C相切时，由Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，得k＝1.经检验k＝1适合题意，∴所求实数k＝1.7.(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，].高考题型精练(1)求C的参数方程；12345678π2解C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1).可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝sint(t为参数，0≤t≤π).(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.高考题型精练解设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，123456783tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为(1＋cosπ3，sinπ3)，即(32，32).高考题型精练123456788.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.高考题型精