积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：08090233作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年4月27日1积分不等式的证明及应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号:08090233姓名:盛军宇指导老师:肖娟摘要本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词积分不等式；中值定理；函数0.引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有:定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1.积分不等式的证明方法1.1利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1)若xf在ba,上连续,则至少存在一点ba,,2使得abfdxxfba.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1设xf在1,0上可微,而且对于任意1,0x,有Mxf||,求证:对任意正整数n有nMnifndxxfni1101,其中M是一个与x无关的常数.分析由于目标式中一个式子为ninifn11,另一个式子为dxxf10,故把dxxf10按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证由定积分的性质及积分中值定理,有1011nininidxxfdxxfniinf11,ninii,1,.,,2,1ni又因为xf在1,0上可微,所以由微分中值定理可知,存在niii,,使得,iiiniffnif,.,,2,1ni因此niniininifnfnnifndxxf11101111nMnMnnifnfnifnfnifnniiniiniinii111111111.在抽象函数xf的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间ba,n等分,点i也可采用特殊的取法.1.2利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2)若函数f满足如下条件:3if在ba,上连续；iif在ba,内可导,则在ba,内至少存在一点,使得abafbff.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()fx和区间,ab,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2设xf在ba,上连续.证明:若afbf0,则badxxfMab42,xfMaxMbax,.分析由条件afbf0,及xf与xf,故想到利用拉格朗日中值定理.证由拉格朗日中值定理得:对任意的x2,baa,afxfxfxaaxf11,.对任意的xbba,2,bfxfxfbxbxf22,.bbaxxbMxfbaaxaxMxf,2,,2,,,故bbabaabadxxfdxxfdxxf22bbabaadxxfdxxf22bbabaadxxbMdxaxM22Mab42.注意到M是xf在ba,上的最大值,所以解题的关键是如何使xf与xf联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使4得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3设函数xf在1,0上连续,证明不等式102210dxxfdxxf.分析此例若令xxdttfdttfxF0220,则xF的正负不易判断,需进一步的改进.证由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令xxdttfxdttfxF0220显然,00F,且xF可导,有xfxF2dttfx0txfdttfx202xdttfxf020,则xF在0x时单调减小,即有0,00xFxF,特别地,,01F即证得不等式102210dxxfdxxf.例4设函数xf在1,0上可微,且当1,0x时,10xf,00f,试证103210dxxfdxxf.证问题在于证明0103210dxxfdxxf,令xxdttfdttfxF0320,因为00F,xfdttfxfxfdttfxfxFxx203022,已知00f,10xf,故当1,0x时,0xf,记xgxfdttfx202,则00g,xfxfxfxg22=012xfxf,1,0x,于是xgxfdttfx20200g,1,0x,故,0xF1,0x,5所以001FF,即103210dxxfdxxf.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5若函数xf,xp,xg在ba,上连续,xp是正值函数,xf,xg是单调增加函数,则babababadxxgxfxpdxxpdxxgxpdxxfxp.该不等式称为切贝谢夫不等式.分析只要证0babababadxxgxpdxxfxpdxxgxfxpdxxp即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证因定积分的值与积分变量无关,故babadyypdxxp,babadyygypdxxgxp.babababadyygypdxxfxpdxxgxfxpdyypdxdyygxfypxpxgxfxpypDdxdyygxgxfypxpD1其中,积分区域byabxaD;.因为定积分与积分变量的形式无关,所以交换x与y的位置,得到dxdyxgygyfxpypD2将1式与2式相加,得dxdyygxgyfxfypxpD21,由已知,可知xp是正值函数,xf,xg是单调增加函数,从而yfxf与ygxg同号,6于是在D上ypxpyfxfygxg0,从而,0.即babababadxxgxfxpdxxpdxxgxpdxxfxp.例6若函数xf在1,0上不恒为零且连续增加,则102103102103dxxxfdxxxfdxxfdxxf.证由于在1,0上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于101032dxxxfdxxf0102103dxxxfdxxf,而101032dxxxfdxxf102103dxxxfdxxfdxdyyxfxfdxdyyyfxfDD3232dxdyxyyfxfD323其中,积分区域10;10yxD因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有dxdyyxxfyfD324将3式与4式相加,得dxdyyfxfxfyfyxD2221,由已知,函数xf在1,0上连续增加,从而对任意的1,0,yx,有022yfxfxfyfyx,故102103102103dxxxfdxxxfdxxfdxxf.从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7设0xf,且在ba,上连续,试证2abxfdxdxxfbaba.分析可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.7证由题设对任意的,考察函数xfxf,因为02xfxf,有022dxxfxfba,即022dxxfdxxfdxbababa,不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立,故判别式0422bababadxxfxfdxdx,即2abxfdxdxxfbaba.用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程xg,而02xg,于是我们构造02dxxgba这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6利用对称性证明积分不等式命题1当积分区域关于直线xy对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8函数xf在ba,上取正值且xf在ba,上连续试证:2abdxdyyfxfh,babah,;,.证因为babah,;,关于直线xy对称,从而dxdyxfyfdxdyyfxfIhh,所以dxdyyfxfIhdxdyxfyfyfxfh2121abdxdyh.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应