微积分05不定积分

第一节不定积分的概念与性质一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质例如:，是函数在上的原函数.，sinx是cosx在上的原函数.),(32()3xx2x),(x'xcos)(sin33x又如d(secx)=secxtanxdx,所以secx是secxtanx的原函数.定义设f(x)在区间上有定义,如果对任意的都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数.xI1.原函数的概念一、不定积分的概念（1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函数一定存在？（2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼此之间有何关系？问题:答案:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．具体理由将在下一章给出．(2)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.证设F(x)，G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数.所以F'(x)=G'(x)=f(x)，即G(x)=F(x)＋C0(C0为某常数).所以有G(x)－F(x)=C0，于是[G(x)－F(x)]'=G'(x)－F'(x)=f(x)－f(x)=0定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作()dfxx其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.()d()fxxFxC，即2.不定积分的概念21darctan.1xxxCx所以在上有例1求4d.xx.5d54Cxxx，xx'45)5(解21(arctan)()1x'xx，解例2求21d.1xx例3求.d1xx,1)1(1)(1)ln(0xx'xx'xx时，有当解)0(lnd1.1)(ln0xCxxxx'xx时，有当).0(lnd1xCxxx,0)ln(,0lnlnxxxxx当当.)ln(d1Cxxx又函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.图5.13.不定积分的几何意义在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（图5.1）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.例3,于这点的横坐标，求此曲线方程，设曲线通过点(2.3),且其上任一点的切线斜率等.21d2yxxxC(2,3)1C把代入上述方程，得，解，，依题意可知设所求的曲线方程为xy'xfy)(122xy因此所求曲线的方程为特别地，有.dCxx4不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算.，或xxfxxfxf'xxf)d()d(d)(])d([(1)，或CxFxFCxFxxF')()(d)()d((2)Cxxxcosdsin)6().(d)1(为常数kCkxxk二、基本积分公式.||lnd)3(Cxxx.d)5(eeCxxx.)1(1d)2(1Cxxx.lnd)4(Caxaaxx.cotdcscsind)8(22Cxxxxx.secdtansec)10(Cxxxx.sindcos)7(Cxxx.tandseccosd)9(22Cxxxxx.cscdcotcsc)11(Cxxxx.arcsind11)12(2Cxxx.tanarcd11)13(2Cxxx例4计算下列积分.d1(3).d1(2).d)1(23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxdd1(2)21解xxxxdd(1)313xxxxdd1(3)22.22111211CxCx2111.21CCxx例5计算下列积分(1)2.()..21d(2)d(3)dxxxxxex解(1)22dln2xxxC(3).deexxxC11111()d()()122ln22ln2xxxxCC(2)三、不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.xxfkxxkf)d()d().0(kk是常数，性质2可以推广到有限多个函数的情形，即12[()()()]dnxxxxfff性质2两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即[()()]d()d()dfxgxxfxxgxx12()d()d()dnxxxxxxfff例6求.d)345232(xxxxxxxxxxxd3d4d5d223xxxxxxxxxxxd3d4d5d2d)34523232(解.323521234Cxxxx注逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可例7求xxxd)sin23(xxxxxxxdsin2dd)sin233(解.cos23ln)cos(23ln33CxCxxx例8求.d)1(2xxx53122222(1)(d)dxxxxxxx,22123252)1(xxxxx解531222d2ddxxxxxx.325472232527Cxxx例9求2cosd2xx21cos1cosdddcosd222xxxxxxx1(sin)2xxC解.arctanCxx例10求xxxd122xxxxxd)11(1d1222解xxxd11d2.arctan33Cxxxxxxd11)1(22xxxxxxxd11)1)(1(d1222224解xxxxd11d)1(22.d1224xxx例11求.dtan2xx.tanCxx例12求xxxx)d1(secdtan22解xxxddsec2注例9-例12在基本积分公式中没有相应的类型,但经过对被积函数的适当变形化为基本公式所列函数的积分后,便可逐项积分求得结果.第二节不定积分的积分方法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、分部积分法四、简单有理函数的积分五、积分表的使用.d2cosxx求一、第一类换元积分法例1，uxd21d原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cosu，du=2dx，从而xxdcosuuuuxxdcos21d21cosd2cos所以有？.2sin21d2cosCxxx分析.sin21dcos21cossincossinddCuuuuuuuuu的原函数，因此有被积函数是而言，，即对新的积分变量由于.2sin21sin212CxCuxu代回，得再把综合上述分析，此题的正确解法如下：,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d.d2cosxx求)()()d(有具有连续导数，则且，如果xuCuFuufj(1))]([)d()]([CxFxx'xfjjj定理1公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分法”.用第一换元积分法求不定积分的步骤是uufxx'xfxuxx'ud)(d)()()(d)(djjjj令CuFufuF)()()('.)()(CxFxujj代回还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换=u,还需要在被积表达式中再凑出即,也就是,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为()xjxx'd)(j)(dxjudCxFuufxxf)(d)()(d)(jjj在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.d31d20082008)13(uxux－于是有例2求.d)13(2008xx，，得，得令uxxuxud31d3dd13解uud31=2008.)13(60271200913120092009CxCu例3求.d231xx于是有，，得得令d21dd2d,23uxxuxu解d211d231uuxxuud121=Cu221.23Cx例4求.d42xxxd2d42则，，则令xxuux解d21d42uuxxxCu233221=.31)4(223Cx例5求xxxd)ln(2，)lnd(d1xxx解)lnd(d)(ln)(ln22xxxxx.31)(ln3Cx例6求.d12arctanexxx，)(arctandd112xxx解)d(arctand1eearctan2arctanxxxxx.earctanCx用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在下列各式中，a，b均为常数，且):0a).(d1d.1baxax).(d2d1.4bxaaxx).(d21d.22baxaxx).1()(d)1(1d.31baxaxx).(d1d1.52bxaaxx).(lndd1.6bxxx).arccosd()arcsind(d11.102xxxx).e(dde.7bxxx).sin(d1dcos.8bxaaxx).cos(d1dsin.9bxaaxx).cotarc(d)(arctandd11.112xxxx例7求.d122xxaaxaaxd1112xxaxaxad111d12222解.arctan1Caxa.d122x-xa例8求xax-axxad111d1222解axaaxd1112.arcsinCax例9求.d122xaxxaxaxaxaxd1121d122解.ln21Caxaxa)d(1)d(121axaxaxaxaxaxxaxad1d121Caxaxalnln21类似地，有.ln21d122Cxaxaaxxa例10求.dtanxx.|cos|ln=Cx类似地，有.|sin|lndcotCxxxdcossindtanxxxxx解)d(coscos1xx例11求.dcossin4xxx)sind(dcossinsin44xxxxx解.51sin5Cxd12d11tttxx.d11xx例12求函数的积分，所以有可将无理函数化为有理作变量代换，令,tx解ttd122.1ln22Cxx)1(dt112d2ttCtt1ln22二、第二类换元积分法一般的说，若积分不易计算可以作适当的变量代换，把原积分化为的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要将代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.xxfd)()(txjtx'xfd)())((jj)(1xtj定理2)(txj()0.tj