高数导数的应用习题及答案

第三章中值定理与导数的应用复习题1一、是非题：１．函数xf在ba,上连续，且bfaf，则至少存在一点ba,，使0f．错误∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数xf在0x的某邻域内处处可微，且00xf，则函数xf必在0x处取得极值．错误∵驻点不一定是极值点，如：3xy，0x是其驻点，但不是极值点。３．若函数xf在0x处取得极值，则曲线xfy在点00,xfx处必有平行于x轴的切线．错误∵曲线3xy在0x点有平行于x轴的切线，但0x不是极值点。４．函数xxysin在,内无极值．正确∵0cos1xy，函数xxysin在,内单调增，无极值。５．若函数xf在ba,内具有二阶导数，且0,0xfxf，则曲线xfy在ba,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设xbxxaxf2ln（ba,为常数）在2,121xx处有极值，则a（23），b（16）．∵12bxxaxf，当2,121xx时，012ba，0142ba，解之得61,32ba２．函数1ln2xxf的极值点是（0x）．∵xxxf2112，令0xf，得0x。又0x，0xf；0x，0xf，∴函数1ln2xxf在0x取得极小值。３．曲线xxxf3的拐点是（0,0）．∵122xxf，xxf4，令0xf，得0x。又0x，0xf；0x，0xf，∴函数xxxf3的拐点是0,0。第三章中值定理与导数的应用复习题1４．曲线xxfln的凸区间是（,0）．∵xxf1，21xxf，使xf无意义的点为0x。当0x时，0xf，∴曲线xxfln的凸区间是,0。５．若212sinlim0xbeaxx，则a（1），b（1）．∵xbeaxx2sinlim0xbeaxx2lim021lim210xbeaxx，即1lim0xbeaxx又当0x时，1xe～x，∴1,1ba。三、选择填空：１．下列函数中，在区间1,1上满足罗尔定理条件的是（c．）a．xexfb．xxglnc．21xxhd．0001sinxxxxxk∵xexf在端点的值不相等；xxgln在区间1,1上不连续；对0001sinxxxxxk在0x不可导；21xxh在区间1,1上满足罗尔定理的条件。∴c是正确的。２．罗尔定理的条件是其结论的（a．）a．充分条件b．必要条件c．充要条件３．函数xxxxxf1110232在区间2,0上（a．）a．满足拉格朗日定理条件b．不满足拉格朗日定理条件∵123lim201xx，11lim01xx，11lim1fxfx∴函数xf在1x连续，函数xf在2,0上连续。第三章中值定理与导数的应用复习题1∵1231112xxxxf，1111121xxxxf∴函数xf在1x可导，函数xf在2,0上可导。∴函数xf在2,0上满足拉格朗日定理条件，因而a是正确的。４．设xf在0x有二阶导数，00xf，00xf，则xf在0x处(a．)a．不能确定有无极值b．有极大值c．有极小值５．设函数xf在a,0具有二阶导数，且0xfxfx，则xxf在a,0内是（a．）a．单调增加的b．单调减少的∵02xxfxfxxxf（∵0xfxfx）∴xxf在a,0内是单调增加的，因而a．是正确的。６．函数xf的连续但不可导的点（d．）a．一定不是极值点b．一定是极值点c．一定不是拐点d．一定不是驻点四、计算题：１．0sinlimtanxxxxx解222220000sin1cos122limlimlimlimtan1sectan2xxxxxxxxxxxxxx2．xxexx1cos1lim20解2220001cossinlimlimlim11xxxxxxxxxxxxe３．111lim0xxex解200000111111limlimlimlimlim12221xxxxxxxxxxexexexxexxxxe第三章中值定理与导数的应用复习题1４．xxxsinlnlim0解22000002lnsincotlimlnsinlimlimlimlim011tanxxxxxxxxxxxxxxx５．11sinlim20xxxx解原式22222200011limlimlim11211xxxxxxxxx６．sinlimsinxxxxx解sin1sinlimlim1sinsin1xxxxxxxxxx７．xxxxx11lnlim210解112200ln1ln11limlimxxxxxxxxxx2001ln1ln111limlim2xxxxxxxx00ln11limlim222xxxxxx８．201lnlimxxx解2200ln1limlimxxxxxx第三章中值定理与导数的应用复习题1９．xxx1lnlnlim00解0000000021lnlimlnln1limlnlimlim011xxxxxxxxxxxx10．求函数3231xxy的极值．解定义域为R对函数两边取自然对数得（不妨设01x）12lnlnln(1)33yxx11233(1)yyxx所以233323123113133(1)3(1)31xxyyxxxxxxxx令0y，得13x；0x，1x为不可导点列表x(,0)01(0,)3131(,1)31(1,)()fx＋不存在＋0－不存在＋fx()拐点极大值极小值所以极大值为314()33y，极小值为(1)0y．11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形．解设两直角边分别为x、y，则面积12Sxy（0,0xy）设常数为c．由22cxxy，得222cyxc．第三章中值定理与导数的应用复习题1所以224cySyc（0yc）2344cySc，令23044cySc，得3cy，所以3cx驻点唯一，故当两直角边分别为3c，3c时直角三角形的面积最大．12．求乘积为常数0a，且其和为最小的两个正数．解设其中一正数为x、则另一正数为ax；设这两个正数之和为S．aSxx（0x）21aSx，令0S，得xa驻点唯一，故当两个正数均为a时其和为最小．13．设圆柱形有盖茶缸V为常数，求表面积为最小时，底半径x与高y之比．解底半径为x，则高y为2Vx；设表面积为S．2222222VVSxxxxx；224VSxx，令0S，得32Vx驻点唯一，故当底半径32Vx，高322Vy时表面积为最小．