5.9-复变函数的导数与解析函数

第一节预备知识第二节极限与连续第三节偏导数与全微分第四节微分运算法则第五节方向导数与梯度第六节多元函数微分学的几何应用第七节多元函数的Taylor公式与极值*第八节n元m维向量值函数的微分法第九节复变函数的导数与解析函数第五章多元函数微分法及其应用设复变函数在内有定义,如果极限()wfz0zNzzfzzfzwzz0000limlim存在,则称函数在处可导,并称此极限值为f0zf在点处的导数,记为,即0z0zfzzfzzfzfz0000lim或记为,0zzdzdw0zzw定义9.19.1复变函数导数的概念与性质若函数在区域D内的每一点都可导,则称在D内可导.)(zf)(zf例1.求(为正整数)的导数.nzzfn解zzzzzzfzzfzfnnzz00limlim112210limnnnnnznzzzzCnz1nnnzz的连续性与可导性。讨论zzf)(在复平面处处连续解iyxzzf)(yixyixzzzzzzzzfzzfyxzzz)0,0(),(000limlimlimlim1limlim000yiyiyixyixyyx而1limlim000xxyixyixxxy例2。在复平面上处处不可导不存在，因而zzfyixyixzzfzzfyxz)0,0(),(0limlim可导必连续,连续不一定可导:求导公式0c1nnnzzzgzfzgzf)0()(2zgzgzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzf)()(zgzgfzgf))(())(()0)()(),(()(1)(wzfwwzwzf且互为反函数，函数的极限。二元实数定义中的极限对应于的极限，而复变函数导实函数数定义中的极限是一元同。因为一元实函数导大的不一样，但在本质上有很导数定义，虽然形式上函数的数的导数定义与一元实需要注意的是，复变函00000().limlimzzfzzfzzfzwzz设在可导，即极限存在0000,0limzxzyzxfzzfzz当沿实轴趋于零，即时，有xvixuxyxivyxuyxxivyxxux000000000,,,,lim时，有沿虚轴趋于零，即当0,0yizxzyuiyvyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfyyiz00000000000000,,,,limlimuvixxvuiyyyuxvyvxu方程）RC(1定理9.（可导的必要条件）处处不可导。，中如例yuxvyvxuyvxvyuxuyyxvxyxuiyxzzf,1,0,0,1),(,),(,)(2.),(),(),,(),(),()(00000yuxvyvxuRCyvxvyuxuyxyxvyxuDiyxzDyxivyxuzf，条件：，且满足，，，处有偏导数在点处可导，则二元函数且在点上有定义，在区域设复变函数但不可导。条件，满足在证明：0ImRe)(RCzzzzf.条件满足RC例30),(,),(,ImRe)(yxvxyyxuxyzzzf证：)0,0(0)0,0(),0(lim)0,0()0,0(0)0,0()0,(lim)0,0(00xyyyxxvyuyuuvxuxuu不存在zfzfz0lim0的充分条件条件不是复变函数可导说明例RC3不可导。在0)(zzfkikxkixkzfzfxxkyzxxkiz1)1()(0)0(200)1(limlim趋于零时，有沿但当2定理9.（可导的充要条件）00,,,(,)uuvvxyxyxy在处连续.),(),(),,(2),(),(),,(10000yuxvyvxuRCyxyxvyxuyxyxvyxu，条件：处满足在点）（处可微；在点二元函数）（处可导在点则上有定义，在区域设复变函数DiyxzzfDyxivyxuzf000)(),(),()()())(())((,,)(12212100210yxyaxbiyxybxayixiyixibaviuzfzzfyixziibazf，则设0)()(lim,0)()(lim2212002221001221yxyxyxyxyxyaxbvyxybxauyxyx而)0lim()()()((000000000limzzzzzfzfzzfzzfzzfzfzzf可导，即有在必要性）设证处可微在点充分性）),(),(),,((00yxyxvyxuyixviuzwyxoyvxvvyxoyuxuuyxyx))()(())()((2222yixyxoyvxviyxoyuxuyxyx)])()(([))()((2222前已证得。条件处满足在处可微在点,),(),(),,(),(),(),,(0000RCyxyxvyxuyxyxvyxuxxzivuzw0lim.)(0可导在zzfyixyxoyixivuyixyxoyuxviyvxuxxxxxxRC))()(())(())()(()2222（条件yixyxoyvxviyxoyuxuyxyx)])()(([))()((2222内的解析函数。为内解析或在任一点处解析，则称内的在区域解析。若函数在点则称的某邻域内可导，及在点若函数DzfDzfDzfzzfzzzf)()()()()(000不解析。处处不可导，因而处处的中如例zzf)(2定义9.2处不解析。在处不可导，因而在的中例00ImRe)(3zzzzzf由定义9.2可知：()()fzDfzD在区域内解析在区域内可导9.2解析函数3定理9..),(),,(2),(),,(1),(),()(yuxvyvxuRCDyxvyxuDyxvyxuDyxivyxuzf，条件：处满足内任一点在）（处可微；内任一点在二元函数）（内解析在区域函数,,,uuvvDxyxy在内连续由定理9.2即得：)sin(cos)(1yiyezfx）（解析？可导？何处判断下列函数何处)()sin(cos)()(zfyiyeivuzfzfxxx解析，且处处在复平面上处处可导，例4解条件，且满足在复平面上处处连续，，而RCyevyevyeuyeuyeyxvyeyxuxyxxxyxxxxcos,sin,sin,cossin),(,cos),(ixyyxzf)(2）（条件时满足但仅在在复平面上处处连续，，而RCyxvvuuxvyvuuxyyxvyxyxuyxyxyxyx1,1,,,,,1,1),(,),(解.1)(不解析处处可导，在复平面上处在izzfiyxzf2)(3）（条件上满足但仅在直线在复平面上处处连续，，而RCxvvuuvvuxuyyxvxyxuyxyxyxyx21,,,1,0,0,2),(,),(2解.21)(不解析可导，在复平面上处处上在直线xzf。求的虚部已知解析函数)(,)(22zfyxyvzf)()(2)(222222222xgyxxdyyxxyuyxxyvuxyzCyxiyxCivuzfCxgxgyxyxvxgyxyxuyx1)()(,0)()()()(222222222222解例5解析函数与调和函数4定理9.内的调和函数。都是与虚部它的实部内解析，则在区域若函数DyxvyxuDyxivyxuzf),(),(),(),()(()(,)(,)(,)(,)fzuxyivxyDvxyuxy若函数在区域内解析，则称虚部为实部的共轭调和函数。.1)()(),,(),(22iifivuzfyxvxyyxyxu满足并使解析函数的共轭调和函数求CxyxyvCxxxx2222121221)()(解例6CiziCizizCxyxyixyyxivuzf2222222)21(2)21212()(xyxyxyuvxyxyvyxuvyxxy2)(22)(212222)21()(2121)(izizfCiif1.指数函数)sin(cosyiyeewxzzzzikzzzzzzzzzzxzeeeeeeeeeekyArgeee)()4()3(,)2(2,1221212121处处解析，且有周期性：）（性质：复变函数中无中值定理公式实指数函数）注：0)(,0)2()(sincos0)(01(zzxziyxeeeeEuleryiyewxewy9.3初等函数及其简单性质1Ln(Ln).argLnlnlnlnargLnLnln2(1,2,)kzkzArgzzzzzzizzzzkik）为无穷多值函数。对应于每个固定的，可确定的一个单值分支，记为当取主值时，相应的对数称为的主值，记为，即的主值支注（：2.对数函数)2i(arglniArglnLnkzzzzzw)Arg,lnln2,,,.(zvzrukverreerezivuwezuiivuiw则，设反函数的对数函数为指数函数ikikiixx)12(2)1ln()1(Ln)1arg(1ln)1ln()3()0(ln2如在复变函数中不成立。“负数无对数”的说法实对数函数正实数的对数主值就是）（112121221Ln()LnLn,LnLnLn)zzzzzzzz性质：（）运算性质同实对数：（理解为二集合相等(2)解析性：ln111(ln)wwzzeez在除原点与负实轴外的其它点处解析（）（）Lnln.zz的各个分支在除原点与负实轴外的其它点处解析，且与有相同的导数值0000Ln(lnlimarg,limargargyyxxzzzzz在除原点与负实轴外的其它点处连续除原点外连续，除原点与负实轴外连续）.)2(,25)(Ln的值并计算此时一个分支，使求iwiiwzwiiiiiwkikikiiiiwkzizzw232ln)2)2(arg(2ln)2(125)22()2(argln)()2(arglnLn