第7章-空间解析几何与向量代数-第四节

1第七章空间解析几何与向量代数2第四节空间曲线及其方程0),,(0),,(zyxGzyxF曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程3方程组表示怎样的曲线？6332122zyxyx解122yx表示圆柱面，6332zyx表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆.例14方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax母线平行于z轴的圆柱面,交线如图.例2Oxyz准线为xOy面上的圆,圆心在点.2),0,2(aa半径为5)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.——空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程6动点从A点出发，经过t时间，运动到M点如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、v都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．M在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtz螺旋线的参数方程取时间t为参数，解例3AyxzOMtM7上升的高度与转过的角度成正比．即螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度bh2螺距,2yxzAOMtMh80),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影9如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面10类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线,yoz面上的投影曲线,xoz00),(zyxH空间曲线在面上的投影曲线xoy11求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyx解例412求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解例4所以在面上的投影为线段.xoz;23||,021xyz（3）同理在面上的投影也为线段.yoz.23||,021yxz(2)因为曲线在平面上，21z13求抛物面xzy22与平面02zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为0222zyxxzy如图,解例514（2）消去y得xOz面上的投影曲线,0042522yxxzzx（3）消去x得yOz面上的投影曲线.00222xzyzy（1）消去z得xOy面上的投影曲线,004522zxxyyx0222zyxxzy15补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面16求曲线)(342222yxzyxz在xOy面上的投影.消去z得：122yx,所求投影为圆周0122zyx.注：所围立体在xy面上的投影为：122yx.即上半球面与圆锥面的交线.解例617思考题求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.18思考题解答,22222zxzxy交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx19练习：P324习题7-44.5.(2)6.7.