指数函数的图像及性质

§2.1.2指数函数及其性质(1)引入问题问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？分裂次数细胞总数1次2次3次4次x次……)(2*Nxyx个2个4个8个162x21222324研究引入问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？问题截取次数木棰剩余1次2次3次4次x次尺21尺41尺81尺161尺x)21()()21(*Nxyx研究。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(:定义:以上两个函数有何设问1共同特征?;)1(均为幂的形式;)2(底数是一个正的常数.)3(在指数位置自变量xxy)21(xy2提炼我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.探究1：为什么要规定a0,且a1呢？则当x0时，xa=0；时，0xa无意义.当x则对于x的某些数值，可使xa无意义.如x)2(，这时对于，41x在实数范围内函数值不存在.为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1。xa都有意义，且，Rx，0xa在规定以后，对于任何因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).①若a=0，②若a0，③若a=1，没有研究的必要性.则对于任何1xaRx，是一个常量，探究2：观察指数函数的解析式有什么特点:xay1系数为1底数为正数且不为1自变量仅有这一种形式下列函数中，哪些是指数函数？√√练习2(2)yx(3)2xy(4)2xy(5)xy2(6)2xy(7)xyx(8)24xy(9)(21)xya1(1)2aa且(1)2xy√√×××××①底数：大于零且不等于1的常数；②指数：自变量x；③系数：1.④只有一项ax的值求是指数函数函数aaaay、x,)33(22解：依题意，可知，解得101332aaaa1021aaaa或2a二、指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：xy2xy21xy3xy31设问1：我们研究函数的性质，通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质？1.定义域2.值域3.单调性4.对称性等设问2：那么得到函数的图象一般用什么方法？列表、求对应的x和y值、描点、作图87654321-6-4-2246fx=2xx…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…87654321-6-4-2246gx=0.5xxy2xy21161412108642-10-5510gx=13xxy3xy31x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…161412108642-10-5510161412108642-10-5510fx=3x654321-4-224qx=13xhx=3xgx=12xfx=2xa10a1函数性质1.定义域：2.值域：3.过点，即x=时，y=4.在R上是函数在R上是函数5.x0时,x0时，x0时,X0时，1y10y,,01,001增函数减函数)10(aaayx且的性质：10y1y指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质01a1aR（0，+∞）过定点（0，1），即x=0时,y=1在R上是减函数在R上是增函数yx(0,1)y=10y=ax(0a1)yx0y=1(0,1)y=ax(a1)归纳定义域：值域：10010yxyx时，当时，当10010yxyx时，当时，当1.指数函数的图象和性质例.求下列函数的定义域、值域：121)25.0()2(3)1(xxyy函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0,且y1}.解(1)(2)21,012xx得由函数的定义域为),21[,012x125.0012x].1,0(函数的值域为xy0y=1y=ax(0,1)y0xy=ax性质0a1a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y1.4.当x0时,0y1;当x0时,y1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图象(0,1)y=1完成课本P58题2、P59题5)(2*Nxyx2.指数函数的图象和性质练习：1y=ax(a0且a≠1)图象必过点_______2y=ax-2(a0且a≠1)图象必过点_______3y=ax+3-1(a0且a≠1)图象必过点________(0,1)(2,1)(-3,0)4某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时这种细菌由一个分裂成______个512xy0y=1y=ax(0,1)y0xy=ax性质0a1a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y1.4.当x0时,0y1;当x0时,y1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图象(0,1)y=1求定点，先令指数为0，再计算x,y的值已知指数函数的图像经过点求的值.0,1xfxaaa3,,013fff、、例6解答过程见课本P56~57的，待定系数法求a(1)指数函数y=1.7x在R上是增函数.2.指数函数的图象和性质xy0y=1y=ax(0,1)y0xy=ax性质0a1a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y1.4.当x0时,0y1;当x0时,y1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图象(0,1)y=1例7.比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8–0.1,0.8–0.2(3)1.70.3,0.93.1(1)考察指数函数y=1.7x.由于底数1.71,所以指数函数y=1.7x在R上是增函数.解：∵2.53∴1.72.51.73(2)指数函数y=0.8x在R上是减函数.∵-0.1-0.2∴0.8-0.10.8-0.2(3)由指数函数的性质知1.70.31.70=1,0.93.10.90=1,∴1.70.30.93.1.利用函数的单调性比较大小完成课本P59题7(1)(2)搭桥法,与中间变量0,±1比较大小方法总结：1、对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；2、对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较.1．已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8，按大小顺序排列a,b,c答案：cabba1c1即ba1c对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性答案：分a1和0a1两种情况讨论：当a1时a3a4当0a1时a3a42．比较a3与a4的大小xxxcybyaycba的大小关系：如图：试确定,,①②③0xy1①②③1abcabc对同指数幂比较底数的大小可设指数为1xxxcybyaycba的大小关系：如图：试确定变式,,)(①②③0xy1①②③1bacbac完成预学案P38问题1当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小图象向右越靠近于x轴．0cd1ab.比较a、b、c、d的大小.★指数函数图象及性质(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0cd1ab.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；(指数函数在第一象限底大图高)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；既无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．比较下列各题中两个值的大小：54(1)4,0.25变式3.43.4(2)2.1,3.14444)41(25.0)1(解：上是增函数在指数函数Ryx445又454525.0444即3.43.43.42.121(2)()3.13121013121()31xyR指数函数在上是减函数04.3又3.4210()1314.34.31.31.2对同指数幂不同底数的大小比较可用作商法.2.指数函数的图象和性质练习：1113235561.,(01).,,1.2.()(21),.13.(),2.4.(1)(3),(3);14(2)(),().43xxxayaaaxyfxaay当时函数且为增函数这时当时若函数是减函数则的取值范围是函数的定义域是值域是比较下列各题中两个值的大小：(1,+)(0,+)[1,+)(0,1]xy0y=1y=ax(0,1)y0xy=ax性质0a1a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y1.4.当x0时,0y1;当x0时,y1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图象(0,1)y=1)0,21(小结：函数)10(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。1.指数函数的定义：2.指数函数的的图象和性质：指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质01a1aR（0，+∞）过定点（0，1），即x=0时,y=1在R上是减函数在R上是增函数yx(0,1)y=10y=ax(0a1)yx0y=1(0,1)y=ax(a1)归纳定义域：值域：10010yxyx时，当时，当10010yxyx时，当时，当