任意角及其度量

一、有关角的概念角：一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。为了区分旋转的方向，我们引入正角、负角的概念正角：按逆时针方向旋转所形成的角。负角：按顺时针方向旋转所形成的角。正角负角oABC零角：没有旋转时所形成的角，它的大小为0例如：车轮按逆时针方向旋转5周时，其转过的大小为1800按顺时针方向旋转3周时，其转过的大小为1080为了定义任意三角比的需要，引入象限角的概念。象限角：轴的正半轴重合。角的始边与的顶点置于坐标原点，在直角坐标系中，把角x60420例如，和都是第一象限的角，135225和都是第二象限的角60OXYAAOXY135特别：当角的终边落在坐标轴上时，该角不属于任何象限。第几象限。第几象限角，也称角在限，就称该角为此时角的终边在第几象从角的形成过程可以看到，与某一个角的始边相同且终边重合的角有无数个，他们的大小与角相差的整数倍。360终边相同的角：Zkk,360|与角始边相同且终边重合的角的集合可以表示为注：是任意大小的角1等终边相同的角不一定相2例1：判断下列各角分别属于哪个象限：2150)2(（要解这个题，实质上就是要找出与已知角终边相同的角，且该角的范围在到之间。）0360解：250)1(110360250（1）在第二象限在第二象限250110注：任何一个角总可以在到范围内找到一个与它终边相同的角。解这类问题时要画图验证。03603600设与所求角的终边重合，且例2、若，若与的终边相同，则=？7Zkk,36070360Zkk,60角的度量：（1）角度制：（2）弧度制：rrO1弧度AB弧度制刻画了角与R之间的一一对应正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为01把圆周分成360等份，每一份叫做1度的角，记为把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度,用符号rad表示，读作弧度。下面研究弧度数与弧长、半径的关系逆时针1逆时针-2顺时针逆时针点B所转过的弧长r2r2rr100r100021000OB旋转的方向所成角的弧度数r顺时针100顺时针rl||正负取决于旋转方向（3）弧度制和角度制的换算关系)(1801弧度3.571801弧度记住特殊角的换算关系角度数弧度数304560901802703606432232180n)(2360弧度)(180弧度XYO2232X轴正半轴上：Y轴正半轴上：X轴负半轴上：Y轴负半轴上：第一象限的角：第二象限的角：第三象限的角：第四象限的角：间角的大小规定如下：在2~0022320223223与角始边相同且终边重合的角的集合可以表示为Zkk,360|Zkk,2|注意：在同一问题中，角的单位须统一，不能混搭是错误的如：302k(4)弧度制下的弧长公式与扇形的面积公式Slrrl221r22Sr12lr.(1)(2)(3)(4)xy例用弧度制表示：终边在轴上的角的集合；终边在轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合；第一、二、三、四象限的角的集合；(1){|,Z}kk解：(2){|,Z}2kk(3){|,Z}2kk(4)2,2(Z)2kkk2,2(Z)2kkk32,2(Z)2kkk32,(22)(Z)2kkk(5),(6),(7),xy若角与角的终边互为反向延长线，则之间满足关系式___________若角与角的终边关于轴对称，则之间满足关系式___________若角与角的终边关于轴对称，则之间满足关系式___________(5)2,Zkk解：(6)2,Zkk(7)2,Zkk.[0,2)33例已知角的终边与的终边相同，在内哪些角的终边与角的终边相同？23k解：由，得2339k20239k由，得0,1,2k713,,.999所求的角为.5(1)2,2(Z)43(2),(Z)643(3)2,2(Z)43kkkkkkkkk例画区域：436443例、写出终边落在第四象限角平分线到第一象限角平分线区域的角的集合。OXY4Zkkk),42,42(4.?,22例若Ⅰ，则？22(Z)2kkk解：24kk2(Z)2224knnnn①当时，；521(Z)(21)2.24knnnn②当时，2Ⅰ或Ⅲ1234123412右图中的表示第一象限的角所对应的角终边所在的范围。2的终边的范围当Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ时，也分别如图所示。2IIorIV.,23例Ⅰ，问：的终边在什么位置？22(Z)2kkk解：22(1)(Z)3336kkk3(Z)2236knnnn①当时，；2531(Z)22336knnnn②当时，；4332(Z)22.332knnnn③当时，3Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ43214321432113也可利用右图，三个所在的区域就是终边所在的象限。(2)424kk2y终边在第一、二象限或轴正半轴。.(1)(2)2(3)2(4)(5)(6)222例Ⅲ，判断象限：；；；；；。(1)2解：将顺时针旋转，(2)只需考虑，第二象限(3)将逆时针旋转，第一象限。(4)x先关于轴对称，第四象限第二象限。x而与终边关于轴对称，再逆时针旋转，(5)2Ⅲ，则Ⅱ,Ⅳ，22从而Ⅰ,Ⅲ.(6)2Ⅱ,Ⅳ2Ⅰ,Ⅲ2Ⅰ,Ⅲ扇形面积公式应用1.24设扇形的弧所对的弦长为，圆心角小于弧度。扇形所在圆直径为，求扇形面积。2223解：211242233Sr2.22已知圆心角弧度，它所对的弦长为，则这个圆心角所夹的扇形面积是多少？2r11sin1r解：2221111222sin1sin1Sr3.3一个圆心角是的扇形，它的弧长等于，求扇形的半径和内切圆半径。Rr解：设扇形半径为，其内切圆半径为，33R则()sin6Rrr又，13RrrR24.410cmcmAB已知扇形面积为，周长为，求扇形的中心角的弧度数和弦的长。BAlr设弧长为，半径为，中心角为，则210142lrlr1482rrll或18lr2,舍去。12112sin24sin8sin244ABr5.(1)(2)mSr已知扇形的周长为定值，建立扇形面积与扇形半径之间的函数关系，并写出定义域；当扇形的中心角为何值时，面积最大？最大值是多少？(1)2lmr解：弧长，1(2)2Smrr2022mrmrr222mmr2221(2)2416mmSrmrr2max22.416mmrmrSr当，即时，6.2l要修建一扇环形花圃，如图，外圆弧半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，问：中心角为多少时，其面积最大，并求最大值。rS解：设内圆弧半径为，扇环面积为，则rr222113(2)222Srrr①222(23)lrrrr又，223lr223424129lS代入①式，得2max429.34lS当，即时，2164912l