3.2.2立体几何中的向量方法2——平行、垂直关系

3.2立体几何中的向量方法-----利用向量解决平行与垂直问题(课本第103页)探究：你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系吗？lmabml//baba//设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lua//l0uaua设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则uv//vuvu//设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lambml0baba设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则luuaua//la设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则uv0vuvu设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv线线平行l∥au0au；面面平行巩固性训练1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.////llll4-5-84例1.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN,求证：MN//面BCE.ABCDEFMNG证明:连结AN并延长交直线BE于点G,连结CG.∵ACFB,AMFN∴分析:本题用几何法做不难,用向量法做也非常好!证明:∵,,ABBCABBEBCBEB例1.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN,求证：MN//面BCE.ABCDEFMN∴AB是平面BCE的一个法向量∵MNMAAFFN∴ABMNABMAAFFNABMAABAFABFN0∴MN//面BCE例2:如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEF解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=111(1,0,0),(0,0,1),(0,,)22APE依题意得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCD)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA//2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，//G(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGZXYABCDPEFXYZG)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（11(0,,),22110022DEPBDE又故DEPB所以,,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以例2:如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(2)求证：PB⊥平面EFD:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE练习4在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,,'DADCDDxyz证明:如图,以D为原点，分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1.'222AA(1,0,0),B(1,1,0),(1,0,1),111E(0,1,),F(,,0)111'(,,1),(1,1,0),(0,1,)222AFDBDE11'(,,1)(1,1,0)0,22111'(,,1)(0,1,)0222AFDBAFDE',',.'AFDBAFDEDBDEDAFBDE又平面小结作业:向量法解立体几何问题的优点:1.思路容易找,甚至可以公式化；一般充分结合图形发现向量关系或者求出(找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这些向量借助向量运算就可以解决问题.2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明;3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.FE证明2:设正方体的棱长为1.'22111'''2221211''22111102222'AFAAADABAAADABDBABADBEBCCCAFDBAAADABABADABADAF22'11'22111102222BEAAADABABADBCAA',',.'AFDBAFDEDBDEDAFBDE又平面:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE练习4在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面