对公平的竞赛评卷系统的讨论概要

对公平的竞赛评卷系统的讨论摘要本文讨论了数学建模考试答卷评阅的公正性问题。1.答卷编码的加密与解密。本题采用矩阵转置的数学方法,以及计算机中数字的进制转化,对答卷编码进行矩阵转置、各元素的进制转化等一系列加密,进而得到密文。解密过程与加密过程相反。2.答卷的分配问题。在求解过程中时将此问题分为两大步骤,第一是将评委分配给各个题组,第二是针对相应题组的评委对答卷的分配。进行评委分配时,我们根据最小方差法利用了Lingo程序确定出A、B、C、D题分别需要分配8、9、4、4名评委,但这组数据不能完全满足题意,故结合问题实际对数据微调,得到A、B、C、D题分别需要分配8、8、5、4名评委,再分别针对4个题组,以题组内所有老师对某学校的工作量之和等于学校在该题组中应评阅的次数为约束条件,以某题组每名教师工作量与总工作量的方差、该题组中所有评委评阅过的学校数总和及其与某评委评阅学校数的方差为目标函数,建立多目标非线性数学模型,对目标函数加权,转化为单目标非线性数学模型。3.答卷的一致性问题。运用肯德尔和谐系数建立数学模型,计算出评分一致性的肯德尔和谐系数,通过肯德尔和谐系数的大小判断一致性。4.最终的分数调整计算公式。不公平和尺度差由多方面构成,所以对不公平数据的调整从处理评委的公平性和尺度偏差两方面着手。通过调和平均以及加权求出它们各自的调整公式,然后二者结合求出最终调整公式。5.对评卷中采用百分制还是等级制的讨论,通过运用计算调和平均数和对比标准偏差大小的方法,得出应用百分制较等级制更好的结论。模型还可推广到教育体系的其他考试的试卷加密以及评阅工作中。例如,全国英语等级考试,全国计算机等级考试等。关键字肯德尔和谐系数;最小方差法;置信区间;调和平均数一、问题重述数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与,越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的:先将答卷编成密号,评委由各参赛学校(20-50所派出,按不同的题目分成几个题组,每个题组由M个评委组成,评阅N份答卷,每份答卷经L个评委评阅,评委对每份答卷给出等级分(A+,A,A-,B+,B,B-,C+,C,C-,D,如果L个评委给出的分数基本一致,就给出这份答卷的平均分,否则需讨论以达成一致(其中M=5-10,N=60-200,L=3-5。现在需要你解决如下问题:1.有A,B,C,D四个题目,P(P≥M所学校参赛,给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法(其中题号为明号;要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好;对你的方法给出分析。2.每个题组的M个评委来自不同学校,给出一种评阅答卷分配的数学公式方法,要求回避本校答卷,并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛,并满足某些特殊的要求。3.给出评分一致性或公正性的检验方法,该方法要求对每个评委的公平性给出评价(某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差,不应算作不公平,可在下面的问题中调整。4.给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”,及尺度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子,说明你的方法。5.对评卷中的其他问题(如采用百分制还是等级分,一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平,等等提出你的看法和根据。6.假定有35所学校298个参赛队参赛,数据如附表。其中:数字前两位代表学校,甲组选做A,B题;乙组选做C,D题;25名评委所属的学校编号为:1-17,20,21,22,24,26,28,29,30。每份试卷经四位评委评阅,编号为15,22的只容许评C,D题,编号为26的只容许评A,B题,编号为1,4,6,12,16的评委要求评A题,编号为2,5,7,10的评委要求评B题;编号为24的评委要求评C题,编号为29的评委要求评D题。其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。要求对问题1,2给出具体的算法及结果。对问题3,4,5给出模拟数据再进行分析和运算。二、问题分析问题一需要给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法(其中题号为明号;要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好。由于参加该次数学建模大赛的团队多,数据庞大,故将要采用把原始数据转化为矩阵的形式,对矩阵进行各种变换,而后计划再将结合计算机中的进位转换方式,将矩阵中各元素转换成十六进制,即将得到密文。解码的过程与加密相反,即将先进行仅为转换,再进行矩阵转置,即可得到明文。针对问题二给出一种评阅答卷分配的数学公式方法,要求回避本校答卷,并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛,并满足某些特殊的要求。将采用先利用最小方差法以总评委人数为约束条件,以评委阅卷最小方差为目标函数,求出每组分配的评委人数,而后建立以评委不能评阅本校答卷,以及评委工作量相当为约束条件的数学模型,利用Matlab软件求解,最终将得到广泛度较大的评委评阅安排表。问题三在不考虑某评委分数普遍给的偏高或低的影响,讨论评分一致性或公正性的方法。由于在题二中我们关于各组评委和试卷的分配达到了最大的公平度,因此对于大量试卷来说,每个评委老师分配到的试卷量之差可以忽略不计。并对每名评委的打分采与运用肯德尔和谐系数公式来计算其不公平程度。问题四需要求出最终的分数调整计算公式。结合第三问可知一个公平的分数不仅与评委评判的尺度偏差有关,也与评委评判的公平度有关。所以,我们将对每份分数求其置信区间,挑出区间之外的打分,这些跳出点即为不公平点,而后再对跳出点的不公平度和尺度偏差分别进行调整,然后将二者结合得到最终的分数调整计算公式。问题五百分制与等级制问题。对于在建模考试中,是采用百分制还是等级制,本文将先罗列出百分制与等级制各自的优缺点,而后再采用举例的方法说明到底哪种方法更优。三、基本假设1.学生的答卷水平符合正态分布;2.阅卷老师在评审试卷时自主独立,不受外界因素的干扰;3.每名阅卷老师评阅到好、差试卷的概率相等。四、符号表示符号名称符号说明N试卷分组后每组的试卷数jM评委分组后每组的评委数jM试卷编号的明文矩阵r肯德尔和谐系数wL每份试卷被不同评委评阅的总次数Q各组分到的评委数ix第j份试卷初次分数的平均值jx第i位评委对第j份试卷的评判分数ijijy第i位评委对第j所学校的阅卷数五、模型建立与求解5.1答卷编号加密和解密的数学公式原始的消息称为明文,而加密后的消息称为密文。从明文到密文的变换过程成为加密,从密文到明文的变换过程称为解密。本题的要求是给出一种方法简单易算、可随意变换且保密性能好答卷编号加密和解密的数学公式方法,即将答卷编号加密成密文。具体过程如下:1.将题目原始数据写成一个3010⨯矩阵,此时的矩阵称为明文矩阵M。2.对明文矩阵M进行转置,形成一个1030⨯阶新矩阵1M。3.将新矩阵1M写成数组形式,并对数组每个元素乘以10在加上3得到数组Q。4.数组Q的每个元素除以53,将每个元素的商乘以100再加上它们各自的余数,即得到新数组1Q。5.新数组1Q中每个元素的每个位数写成一个22⨯矩阵,形成一个矩阵组。6.将矩阵组的每个小矩阵进行转置,再对每个元素都转化为二进制数,并将每个小矩阵向左循环移动三位,得到新矩阵组。7.新矩阵组的每个元素转化成十六进制,即得到密文矩阵。根据题目的要求,各答卷的题号为明号,所以只需在得到的密文后加上题号即可得到完整的序号密文。在解密过程中,只需进行与加密过程相反的运算即可。运用MATLAB软件计算为各答卷序号加密。部分答卷加密后所得密文如表1所示(全部密文见附录1:明文密文明文密文明文密文明文密文明文密文明文密文明文密文010107150201051205070513080105141001051513010516150175120102751602024513050845140802451510024516130245171502151401038A840203371005093711080337121003371313033714150307110104C11C0204CC810510348C08043C8010043C8813043C8115043C8101059C8102059C8905111212080512111005C0141305C8101505C818010661210206A11C0512532008062227100611141306111C16011310010726270207421B051342140807421C10075426130754271602A214010812140208121C0514252008082521100825221308C21416031626解密过程与加密的过程相反。具体过程如下:1.将密文写成矩阵10⨯30矩阵,此时的矩阵称为密文矩阵组w。2.将密文矩阵组w每个元素转化为二进制,并向右循环移动三位,得到新矩阵组R。3.对新矩阵组R中的每个小矩阵进行转置明文矩阵M进行转置,形成一个1030⨯阶新矩阵1M。3:将新矩阵1M写成数组形式,并对数组每个元素乘以10在加上3得到数组Q。4:数组Q的每个元素除以53,将每个元素的商乘以100再加上它们各自的余数,即得到新数组1Q。5:新数组1Q中每个元素的每个位数写成一个22⨯矩阵,形成一个矩阵组。6:将矩阵组的每个小矩阵进行转置,再对每个元素都转化为二进制数,并将每个小矩阵向左循环移动三位,得到新矩阵组。7:新矩阵组的每个元素转化成十六进制,即得到密文矩阵。问题一中计算得到的明文密文对照表,该表在横向上表面上看起来密文是连续的,但是将密文转化成明文后,就会发现,这是属于不同学校的答卷;在竖向上,该表无规律可循。故此表符合题目要求,是一张正确的明文密文对照表。5.2评阅答卷分配的数学公式方法每个题组的M个评委来自不同学校,给出一种答卷编号分配的数学公式方法,要求回避本校答卷,并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛,并满足某些特殊要求。分配答卷分两步:对题组分配评委;对评委分配试卷。5.2.1评阅答卷的评委分配由于不同的题组的试卷数量不同,应使每位评委评阅的答卷数量尽可能平均,即各题组答卷总数与评阅该题组的评卷老师的人数成正比。确定每个题组所需求得评卷老师的人数后,先考虑安排有特殊要求的老师,然后根据评阅老师要回避本校答卷,即保证评卷老师不能评阅所在学校试卷,将剩余的阅卷老师进行随机分配,即得到试卷分配的方法。根据题中给出的条件,共有298份试卷,25名评卷老师进行评阅,共四组题目分别为A、B、C、D,其中,A题答卷数951=N,B题答卷数1072=N,C题答卷数503=N,D题答卷数464=N。运用最小方差的数学方法以各组需分配评卷老师人数为自变量,各评卷教师评阅试卷数目方差最小建立如下模型:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯-+-+-+-=∑=为正整数、、、43214122222541]44625298(35025298(210725298(19525298min[(QQQQQQQQQyii(1利用Lingo求解得4Q,4Q,9Q,8Q4321====。即A题需分配8名评委,B题需分配9名评委,C题需分配4名评委,D题需分配4名评委。根据题目知编号为22的阅卷老师只能评阅C、D题,而C、D题两组都只分配到4名评阅老师,又由于编号22所在的学校只做C、D题,当评阅22所在学校的试卷时,22要回避,故此时不能满足每份试卷每份试卷经四位评委评阅。故要对计算的数据进行调整。调整后的各组人数安排为:A组8人、B组8人、C组5人、D组4人。又由于某些评委有特殊要求,如编号为15的只容许评C,D题,编号为26的只容许评A,B题,编号为1,4,6,12,16的评委要求评A题,编号为2,5,7,10的评委要求评B题;编号为24的评委要求评C题,编号为29的评委要求评D题,并根据已调整的每个题组所需评委数目,我们将评委的分配情况绘制成表1。表1分配评委结果题号评委编号A1,4,6,12,16,20,21,24B2,5,7,10,26,27,28,29,30C3,8,9,14,22D11,13,15,175.2.2评委评阅的试卷分配分配试卷时应保证每名评委答卷的广泛度较高