16 容斥问题

2容斥原理是讨论包容和排斥的计数问题例:{1,2,3,….20}中2或3的倍数的个数解:2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。共10个3的倍数是：3，6，9，12，15，18。共6个注意：蓝色的数同时出现在两个序列中。容斥问题容—包含斥—排除所以也叫包含与排除问题测一测6＋6－1=11（人）答：共有11人。1、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？2、洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？8×2－7=9（个）答：一共要9个夹子。容斥原理•一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B=A+B-A∩B)依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。答案：15+12-4=23五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？试试：语文优秀的人数：65人数学优秀的人数：87人两科都优秀的人数：30？人65＋87－30=122（人）答：五年级一共有122人。四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么四（一）班一共有多少人？练一练25＋23－19=29（人）答：一共有29人。分析：没有人一门也没完成，即排除了一次手都没有举的可能。剩下的同学要么举过一次手，要么举过两次手。•某班有48人，班主任说：“做完语文作业的请举手。”有37人举手。又说：“做完数学作业的请举手。”有42人举手。最后问：“有没有哪个同学一门作业也没完成呀？”结果无人举手。问：这个班语文、数学作业都完成的人数是多少？做完语文的人数：37人做完数学的人数：42人两科做完的人数：？48人37＋42－48=31（人）答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？试试：语文优秀的人数：65人数学优秀的人数：87人两科做完的人数：？122人65＋87－122=30（人）答：语文、数学都优秀的有30人。•某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？13例：一个学校中的某班只开三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？解：令：M为修数学的学生集合；P为修物理的学生集合；C为修化学的学生集合；那么：14M=170，P=130，C=120，M∩P=45M∩C=22，P∩C=20，M∩P∩C=3本题的目的是要求出：的数字，由容斥原理的公式：M∪P∪C=M+P+C－M∩P－M∩C－P∩C+M∩P∩C=170+130+120－45－22－20+3=336人CPM课后过关：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？•一次期末考试，某班所有同学语、数成绩至少有一门得满分。已知有25人数学得满分，有22人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班有多少人？•五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？•某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？•三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？•科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件•五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，问两样都不会的有（）人。•有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？•在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有()人，最多有()人有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的有多少人？•如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）•某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？•分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。答案：25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3•某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？•某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（）人。•某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人既参加数学小组又参加美术小组，有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？•某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人，选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三科均选的有24人。问三科均未选的人数?•一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人？•总结：本次课主要学习有关容斥原理的一些简单应用题。求解此类问题的关键是找准叠加的数据，排除叠加和没有存在的部分，解题过程中准确画出示意图是求解容斥原理问题的关键。它能够帮助我们很好的理解题意，从而正确、快速解题。•有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三个小组都参加的有1人。这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数有多少个？5的倍数的个数数：6的倍数的个数：30的倍数的个数：？个100÷5=20（个）答：有67个。不是5的倍数；不是6的倍数；不是30的倍数5的倍数的个数；6的倍数的个数；30的倍数的个数100÷6=16（个）……4100÷30=3（个）……1020＋16－3=33（个）100－33=67（个）全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？18＋21＋9－3－1－40=44－40=4（人）答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会的至少有多少人？一项不会的就不符合一项不会的尽可能的多，即考虑重复的不会游泳的：50－35=15（人）不会骑自行车的：50－38=12（人）不会溜冰的：50－40=10（人）不会打乒乓的：50－46=4（人）四项都会的至少有：50－（15＋12＋10＋4）=9（人）