函数的奇偶性和周期性

精品文档你我共享知识改变命运函数的奇偶性和周期性基本知识1．函数的奇偶性的定义：对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf〔或0)()(xfxf〕，则称)(xf为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf〔或0)()(xfxf〕，则称)(xf为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。注：奇函数+奇函数一定是奇函数，可能为偶函数偶函数+偶函数一定是偶函数，可能为奇函数奇函数*奇函数为偶函数，偶函数*偶函数为偶函数。奇函数*偶函数为奇函数2、函数的周期性命定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足)()(xfTxf，那么函数)(xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。基本方法1、奇偶性的综合应用奇函数偶函数定义域关于原点对称关于原点对称解析式F(-x)=-F(x)F(-x)=F(x)图像关于原点对称关于y轴对称对称区间单调性相同相反函数值的符号相反相同若在x=0处有意义f(0)=0任意2、周期性的常见判断方法：f(x+a)=f(x)则周期为af(x+a)=-f(x)则周期为2af(x+a)=f(x+b)则周期为︱a-b︱f(x+a)=f(x-a)则周期为2a若)(1)(xfaxf则周期为2a基本题型考点一：奇偶性的基本性质题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·xx11；（3）2|2|1)(2xxxf；（4）).0()1(),0()1()(xxxxxxxf.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2]定义在区间)1,1(上的函数f(x)满足：对任意的)1,1(,yx，精品文档你我共享知识改变命运都有)1()()(xyyxfyfxf.求证f(x)为奇函数；练习：1．设函数axxxf12为奇函数，则a___________。2．已知函数babxaxxf3)(2是定义域为]2,1[aa的偶函数，则ba的值是（）A．0；B．31；C．1；D．13．定义两种运算：22baba，2)(baba，则2)2(2)(xxxf是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）4．已知函数cbxaxxf1)(2（a、b、c∈Z）是奇函数,2)1(f，3)2(f，求abc的值.考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3]已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数，若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132aa的单调递减区间.练习5．若()fx是奇函数，且在0,内是增函数，又(3)0f，则()0xfx的解集是（）A.{303}xxx或；B.{33}xxx或0C.{33}xxx或；D.{303}xxx或00)(xf；当3x时，0)(xf，可见()0xfx的解集是{303}xxx或06．在R上定义的函数xf是奇函数，且xfxf2，若xf在区间2,1是减函数，则函数xf（）A.在区间2,3上是增函数，区间4,3上是增函数B.在区间2,3上是增函数，区间4,3上是减函数C.在区间2,3上是减函数，区间1,0上是增函数D.在区间1,2上是减函数，区间4,3上是减函数7．R上的奇函数()fx有最小正周期4，且0,2x时，3()91xxfx。求()fx在2,2上的解析式考点3函数奇偶性、周期性的综合应用[例5]R上的偶函数()fx满足(2)()1fxfx对于xR恒成立，()0fx则(119)f_____练习8．设xf是定义在R上的正值函数,且满足精品文档你我共享知识改变命运xfxfxf11.若xf是周期函数,则它的一个周期是_____9．函数fx对于任意实数x满足条件1)(2xfxf，若15,f则5f__________沁园春·雪北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。须晴日，看红装素裹，分外妖娆。江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。俱往矣，数风流人物，还看今朝。克