9.2-9.3函数序列和函数项级数的一致收敛性

§9.2-9.3函数列和函数项级数的一致收敛性一、函数序列的一致收敛(1)定义2.1收敛定义于)(],,[],,[)(00xfbaxbaxfnn.],[)(上收敛或逐点收敛在称baxfn),(],[)(xfbaxfn逐点收敛于在设,),(,0),(,000时当xNnxN0,[,],NnNxab是否有公共的当时对一切?)()(00xfxfn都有.],[),()(lim000baxxfxfnn即)()(00xfxfn(2)例1..)1,0(,)(xxxfnn.)1(,0)(,0nnnxxxf为使只要取.)0(ln,lnln,lnlnxxnxn.,,lnln),(NxxxN找不到公共有关与取.)1,0(,0)(limxxfnn研究下列序列的收敛性.解：因为)1,0(,01)(limlimxxnxfnnn例2..)1,0(,1)(xxnxfn,110)(,)1(0nxnxfn.0)(,,1xfNnNn时当只要.),(无关与有公共的xN研究下列序列的收敛性.解：因为(3)一致收敛定义2.2,)()(xfIxfn上逐点收敛于在点集设,)(Nx无关存在与,)()(xfxfn都有()().nfxIfx则称在上一致收敛于,0且若任意,,IxNn对一切时使得当).()}({xfunixnf记为只要n充分大)(Nn,在区间I上所有曲线)(xfyn将位于曲线)(xfy与)(xfy之间.xyoI)(xfy)(xfy)(xfy)(xnfy（4）几何解释:（5）)()(sup:xfxfnIxn记证明：,0则2)()(xfxfn2)()(supxfxfnIxn.0limnn反之，时若)(,0)(,0,0limNnNnn,)(..时Nnts,0)(N,都有对Ix,n.)()(,nnxfxfIx).()(xfxfunin定理2.10lim)()(nnnxfIxf上一致收敛于在),x(fI)}x(f{n上一致收敛于在由于)()(sup:xfxfnIxn记例3..),(1)(22上一致收敛在求证xnxxfn证明：),,(x.0,01lim)(lim22逐点收敛于xnxxfnnnnxnxnnxnxxfxfn2112211)()(2222.021)()(sup),(nxfxfnxn).,(,0)(xxfn一致收敛于例4.上是否一致收敛？和在),1()1,0(1)(22xnnxxfn解：.0)(lim,xfxnnnnxxnnxxnnxxfxfn111)()(2222,211110)1()()(sup)1,0(nfxfxfnnxn而一致收敛01)()(sup),1(nxfxfnxn,1时当x,0不故在(0,1)上不一致收敛.判断定理2.2)(收敛原理Cauchy,I)x(fn定义于设上一致收敛在I)x(fn,,,)(),(,0*NpIxNnN时当.)()(xfxfnpn都有证明:,,,)(),(,0*NpIxNnN对时当.2)()(,2)()(xfxfxfxfpnn.)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(fnpnnpn),()}({xfIxfn上一致收敛于在由于,,)(),(,0IxNnN对时当由.,)(,收敛列是CauchyxfIxn,)()(pxfxfnpn中令在.)()(,xfxfIxn有则对.)()(xfxfnpn都有),()(limxfxfnn设,*Np),()}({xfIxfn上一致收敛于在因此二、函数项级数的一致收敛定义3.1,)()(,)(11nkknnnxuxSIxu且定义于设).()(1xSIxunn上一致收敛于在则称级数定理3.1(柯西收敛原理))()(1xSIxunn上一致收敛于在),(,0N.)()(,,1*xuxuNpIxpnn,)(时当Nn).()}({xSIxSn上一致收敛于在若推论3.1逆否:例5.),0(1上的一致收敛性在讨论nnxne解:,)(nxnnexu令0,)1(sup)(sup00即不ennunexunnxxnx故级数在(0,+∞)上不一致收敛!.0)}({)(1上一致收敛于在上一致收敛，则在若IxuIxunnn.)(0,)}({1上不一致收敛在则上不一致收敛于在若IxuIxunnn由于例6证明：一致收敛，则上在并且设)()(21],[)(1a,bxu,...,,na,bCxunnn.][)()2()(,)(1111上一致收敛在收敛；）（a,bxubuaunnnnnn(1)因为上一致收敛，所以在)()(1a,bxunn有时当,,,)(),(,0*NpIxNnN.)()(1xuxupnn得到，在上式中令ax1()().nnpuaua.)()(11也收敛收敛，同理因此nnnnbuau(2)由（1)即得.11111coscossin,0,2,,,0,2,coscos,0,2,,0,2lnlnnnnnnnxnxnxxxnnnnxnxxxnnnn利用例6结论的逆否可得，不一致收敛．(由于它们在相应的闭区间是不一致收敛的)-----由逆否命题可得到。三、一致收敛的判别,,1Ixann使得对若存在收敛的正项级数.)(1上一致收敛在则Ixunn,)(nnaxu都有证明：,1收敛由于nna.,,,01pnnaaNnN有时当.,,)()(111pIxaxuxupnnkkpnnkkpnnkk收敛定理知，所以由函数项级数的Cauchy定理3.2(Weirstrass判别法)则由Cauchy收敛定理，进一步由已知条件，.)(1上一致收敛在IxunnM-判别法或优判别法的称为是11)(nnnnxua优级数,强级数,控制级数例7.),(cos12上的一致收敛性在讨论级数nnnx解：收敛，，且由于12211)(nnnnxu.),(上一致收敛因此该级数在例8.)1(],0[)1(1上的一致收敛性在讨论级数aaxxnn解：,)(nnaxu由于收敛，时，且当11nnaa.)1(],0[上一致收敛因此该级数在aa证明：例9,),0(1上不一致收敛在证明级数nnxne，上但是在21)(,),[nnexunn.),[上一致收敛但在由本节例5可知，,),0(1上不一致收敛在级数nnxne.),[上一致收敛因此该级数在说明：⑴使用M判别法，要求：.)()(一致收敛绝对收敛，xuxunn这种要求过强⑵存在一致收敛级数，但不绝对收敛；存在级数绝对收敛，且一致收敛，但.)(不一致收敛xun!!失效反例见课后习题！使得存在上，若给定定义在设,0)(,)}({xMIxIxfn.||,0Man,Mann有使得对有界，即存在设数列.)}({2,1,)(上一致有界在，则称IxfnMxfnn四、的一致收敛的判别法1)()(nnnxbxa.)}({)()(,上逐点有界在，则称有IxfxMxfnnn定义3.2定义3.3，使得，若存在上，对定义在设0)}({MIxIxfn例10讨论下面序列是否一致有界.，，所以因为1)(0)1,0()1(xfxn因此该序列一致有界..1,,MnxMnxn，则有再令设若不然矛盾！.21),1,0(,)()2(21),1,0(,)(1)(,...,nxnxxf...,nxxxfnnnn解：逐点有界，，显然,...,nxnxxfnn21)1,0(,)()2(但不一致有界.(1).0,)(上一致收敛于并且在单调对固定的Ixxbn(2).)(1上一致有界的部分和序列在Ixann.)()(1上一致收敛在则Ixbxannn证明：nkkmnkmnkkxaxaxa111)()()(由于Mxaxankkmkk2)()(11定理3.3(Dirichlet判别法)满足下列条件：设1)()(nnnxbxa引理有，所以由Abel))(2)((2)()(11xbxbMxbxapnnpnnkkk,0)(上一致收敛于在又因为Ixbn.8)(Mxbn.,,82821pIMMMbapnnkkk于是有由柯西收敛原理，有对所以,),(.t.s),(,0IxNnN.)()(1上一致收敛在Ixbxannn证毕!例11.]2,[sin,cos11上一致收敛在证明nnnnxnnx证明：.0)(,1,cos单调减趋于则取xbnbnxannn，且2sin12sin1cos)(11xkxxanknkk即部分和序列一致有界，.]2,[cos3.31上一致收敛在可得，由定理nnnx.]2,[sin1上一致收敛在同理，nnnx;,,)()1(上一致有界且在单调对固定Ixxbn.)()2(1上一致收敛在Ixann.)()(1上一致收敛在则Ixbxannn.,)(.,0IxMxbs.tMn即：定理3.4(Abel判别法)满足下列条件：设1)()(nnnxbxa类似定理3.3可证，这里从略.例12.),0[arctan)1(ln)2()1(2上的一致收敛性在nxxnxnnnn解：一致收敛，则21ln)1(nnnnna则令,11112nnnnxxxb讨论.2)()(],1,0[xbxbxnn递增，且固定,ln)1(2nnnna令.]1,0[12ln)1(2上一致收敛在所以nnnnxxn(1)单调递增，固定又因为对nxxarctan,.),0[arctan12)1(2上一致收敛在从而nnnnnxxxn2)(,)(],,1[xbxbxnn且递减固定.],1[12)1(2上一致收敛在因此nnnnxxn.],0[12)1(2上一致收敛在于是nnnnxxn(2),2arctannx且五、小结3.一致收敛性M判别法,Dirichlet判别法,Abel判别法.1.函数列的一致收敛定义；2.函数项级数的一致收敛定义；作业•习题10.2•1（1）（3），2•习题10.3•1(1)(3)(5)(7),2,3,4,5,6