行列式的计算方法汇总1

行列式的计算方法汇总方法1化三角形法12312341345121221nnnnDnnn[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1)200020000001001(1)()2iinninrrinrrnnnDnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn(1)(2)12(1)12(1)(1)12nnnnnnn[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a0,a1,…,an-2,an-1这n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。[2]从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)nnnniaaaaaaaaDacinaaaaaaaa解：令0121101223411230nnnaaaaaaaaAaaaaaaaa首先注意，若u为n次单位根（即un=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaauauuaauauAuuuuaauauuaauauaauauauauauauauauaua这里用到等）12011122111201111()1()()nnnnnnnnnuaauauuuuauufufuaauauuu其中2122cossin1,1(0)1,,,,nknkkwnnwwkn设+i为n次本原单位根有:于是：互异且为单位根2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(jjjnnjijjnnnnnwwjn记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11nnnnnn显然为范德蒙行列式110A(1)()()(1)()()nnn从而有：又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与011120'102nnnnaaaaaaDaaa相对应(1)(2)'21nnnnDD而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12nnnnnknnnDffwfwaaanuwfuuunufn即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1nfuufuuuunnnfuu1211111()1,11(1)111nnknknkkxxwxxxxxwn而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2nnnnnnnnnnnnkknnnnnnDffwfwnnn从而有：(-1)(-1)与例1的答案一致。方法2按行（列）展开法（降阶法）设nijDa为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有11221,2,,niiiiininDaAaAaAin或11221,2,,njjjjnjnjDaAaAaAjn其中ijA为nD中的元素ija的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。例2，计算20阶行列式[9]20123181920212171819321161718201918321D[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：112020118(1,(2,,20)19)1111111231819202111112121718193111113211617181911111201918321201111111111130222240022221(1)22120000022100000iiiiiccrrD182以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。下面是一常用的方法：方法3递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。00010001000001nD11,nnnD证明　：其中（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12nnnDDD－－（＋）－这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212nnnnnnDDDDDD－－－－－－＝－＝（－）或11212nnnnnnDDDDDD－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)nnnnnnnnnnnDDDDDDDDDD－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)nnnnnnnnnnnDDDDDDDDDD－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当时由（1）（2）式可解得：11nnnD证毕。［点评］虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递推关系式，如本题。方法4加边法（升阶法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：1111111111121221222121111100000nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabaaaaDaabaaaaaabaa特殊情况取121naaa或121nbbb当然加边法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子。如下题：例4、计算n阶行列式：[8]21121221221221212111nnxxxxxxxxxxDxxxxx[分析]我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2,…,xn相乘，第二行为x2与x1,x2,…,xn相乘，……，第n行为xn与x1,x2,…,xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,…,xn，从而就可考虑此法。解：11112122112121221222121212121211(1,,)(1,,)1101100010100100110100100100001iiiinnnnnnnnnnininiininrxrcxcinxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxxx[注意]大家一定要记住，加边法最重要的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。方法5拆行（列）法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。1112121222121nnnnnnaaaaaaaaa且满足,,1,2,,,ijjiaaijn对任意数b，求n阶行列式111212122212?nnnnnnababababababababab[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然用拆行（列）法。1112111121121212222122222212122nnnnnnnnnnnnnnnnnnabababaababbabababababaababbababDabababaababbabab11121111121212222122221212111nnnnnnnnnnnnnnnnaaabababaaaaabababaabaaabababaa11121111121212222122221212111111nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaabbaaaaaaa21111nniiiib