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1第一章§1.1集合1.关于集合的元素的特征(1)确定性(组成元素不确定的如:我国的小河流)(2)互异性(3)无序性集合相等:构成两个集合的元素完全一样(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.(2)BAABBA,例:已知A={1,1+d,1+2d},B={1,q,q2},若A=B,求的,d,q的值。解:d=-34,q=-122.元素与集合的关系;(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belongto)A,记作a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(notbelongto)A,记作aA子集与真子集:如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作BA或AB.若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,或Q不包含P.记作QP若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.BA或AB.子集与真子集的性质:传递性:若BA,CB,则CA空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.3.常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z有理数集,记作Q实数集,记作R4.集合的表示方法(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;(2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共2同特征。如:{x|x-32},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},…;(3)自然语言描述法:小于10的所有正偶数组成的集合。({2,4,6,8})问:1、{1,3,5,7,9}如何用自然语言描述法表示?2、用例举法表示集合练习:(1)已知集合M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边,那么此三角形一定不是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形5.集合间的基本运算并集(∪):一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,成为集合A与B的并集,记作A∪B,即:,韦恩图如下:交集(∩):一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即:韦恩图如下:全集(U):一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就成这个集合为全集,记为U。补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作CUA,即CUA={xxU且xA},韦恩图如下:练习:1、若A={0,2,4},CUA={-1,2},CUB={-1,0,2},求B=。2、设A={x|x-2},B={x|x0},求A∩B.3、若A={x|x=4n,n∈Z},B={x|x=6n,n∈Z},求A∩B.{|18}AxNx{|,}ABxxAxB或{|,}.ABxxAxB且UCUAA34、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},分别求出满足下列条件的a的取值范围:(1)A∩B=(2)A∩B=A5、已知A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}求A∪B.__________}21|{}2|{6BAZmmBZnnA,则,、集合7、已知X={x|x2+px+q=0,p2-4q0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且XBX,AX,试求p、q;8、已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1∈A,求实数a的值9、已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},A∪B=A,求实数m的值组成的集合。10、集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则CR(A∩B)等于()A.RB.{x|x∈R,x≠0}C.{0}D.Φ(空集)11、已知{a,b}A,且A为{a,b,c,d,e}的真子集,则满足条件的集合A的个数是()12、记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数g(x)=√-2-1的定义域为集合N,求:(1)集合M、N;(2)集合m∩N,M∪N13、已知集合A={x||x-a|≤1},B={x|x2-5x+4≥0},若A∩B=Φ,则实数a的取值范围是()4§1.2函数函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域区间:(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)、无穷区间;区间的数轴表示例1:已知函数f(x)=3x+21x,求函数的定义域。例2:设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域。函数的定义域小结:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.例3:下列函数中哪个与函数y=x相等?(1)y=(x)2;(2)y=(33x);(3)y=2x;(4)y=xx2√42练习:1.求下列函数的定义域(1)y=12-+√2-(2)y=(-)(3)已知f(x)的定义域为(-1,1),求函数F(x)=f(1-x)+f(1)的定义域。2.已知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B。解:a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,16,10}映射:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则,使对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“:A→B”fxyff√-25说明:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的映射与B到A的映射是截然不同的,其中表示具体的对应法则,可以用多种形式表述.(2)“都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思.例:1.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合A到集合B的所有不同的映射有()个。2.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合B到集合A的所有不同的映射有()个。函数的表示方法:解析法、列表法、图像法练习:1.已知f(x-2)=2x2-9x+13,求f(x)——配凑法答案:f(x)=2x2-x+32.已知f(√+1)=x+2√,求f(x+1),f(x2)——换元法答案:f(x+1)=x2+2x,(x≥0);f(x2)=x4-1,(x≤-1或x≥1)3.已知f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)——待定系数法答案:f(x)=3x+2或f(x)=-3x-44.设f(x)满足关系式f(x)+2f(1)=3x,求f(x)——消元法答案:f(x)=2-x,x∈{x|x∈R,x≠0}6.已知x≠0,函数f(x)满足f(x-1)=x2+12,则f(x)的表达式为()A.f(x)=x+1B.f(x)=x2+2C.f(x)=x2D.f(x)=(x-1)27.已知函数f(x)={,(﹤)(-),(),那么f(5)的值为()A.32B.16C.8D.648.若函数f(2x+1)x2-2x,则f(3)=()9.已知函数f(x)=1+,则f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)的值为()10.已知f(2+1)=lgx,求f(x)11.已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)12.定义在(-1,1)内的函数f(x)满足:2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.f6§1.3函数的基本性质增函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意:(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2).减函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。函数的单调性定义:如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。例1:物理学中的玻意耳定律P=Vk(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大。试用函数的单调性证明之。(设V1>V2>0)判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).练习:1、用函数单调性的定义证明f(x)=x+2在(√,+∞)上是增函数。2、若3x-3-y≥5-x-5y成立,则()A、x+y﹥0B、x+y﹤0C、x+y≥0D、x+y≤03、函数y=log1/2(4+3x-x2)的一个单调递增区间是()A.(-∞,32)B.[32,+∞﹚C.(-1,32)D.[32,4﹚4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=√C.y=x2-4x+5D.y=25.函数f(x)=11+2(x∈R)的值域是()A.(0,1)B,(0,1]C.[0,1)D.[0,1]6.已知函数f(x)ax2+2ax+1,x∈[-3,2]的最大值为4,求其最小值.7函数的奇偶性和周期性:函数的奇偶性定义:1.偶函数:一般地,对于函数()fx的定义域内的任意一个x,都有()()fxfx,那么()fx就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义.2.奇函数:一般地,对于函数()fx的定义域的任意一个x,都有()()fxfx,那么()fx就叫做奇函数.注意:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).3.具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.练习:1.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=2.已知f(x)是定义在R上的偶函数.且在[0,+∞﹚上为增函数,若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是:3.函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=1(),若f(1)=-5,则f(f(5))=第二章基本初等函数§2.1指数函数一、指数和指数幂的运算1、n次方根的含义一般地,若nxa,则x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*2、n次方根的写法nnnanaanana为奇
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