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11.二次函数1.对于函数2()(1)2(0)fxaxbxba,若存在实数0x,使00()fxx成立,则称0x为()fx的不动点.(1)当2,2ab时,求()fx的不动点;(2)若对于任何实数b,函数()fx恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,若()yfx的图象上,AB两点的横坐标是函数()fx的不动点,且直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线,求实数b的取值范围.分析新疆王新敞特级教师源头学子小屋@126.comwxckt@126.com源头学子小屋特级教师王新敞新疆本题考查二次函数的性质、直线等基础知识,及综合分析问题的能力新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@126.com王新敞特级教师源头学子小屋新疆函数与方程思想解:2()(1)2(0)fxaxbxba,(1)当2,2ab时,2()24fxxx.设x为其不动点,即224xxx,则22240xx.所以121,2xx,即()fx的不动点是1,2.(2)由()fxx得220axbxb.由已知,此方程有相异二实根,所以24(2)0abab,即2480baba对任意bR恒成立.20,16320baa,02a.(3)设1122(,),(,)AxyBxy,直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线,1k.记AB的中点00(,)Mxx,由(2)知02bxa.212()20,bfxxaxbxbxxaM在2121ykxa上,212221bbaaa化简得:211212141222abaaaaa,当22a时,等号成立.即22,,44bb2例2已知函数242fxaxx,若对任意1x,2xR且12xx,都有121222fxfxxxf.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)对于给定的实数a,有一个最小的负数Ma,使得,0xMa时,44fx都成立,则当a为何值时,Ma最小,并求出Ma的最小值.解:(Ⅰ)∵121222fxfxxxf22212121122222xxxxaxbxcaxbxcabc21204axx,∵12xx,∴0a.∴实数a的取值范围为0,.(Ⅱ)∵2224422fxaxxaxaa,显然02f,对称轴20xa。(1)当424a,即02a时,2,0Maa,且4fMa.令2424axx,解得242axa,此时Ma取较大的根,即2422422aMaaa,∵02a,∴21422Maa.(2)当424a,即2a时,2Maa,且4fMa.令2424axx,解得246axa,此时Ma取较小的根,即2466462aMaaa,∵2a,∴63462Maa.当且仅当2a时,取等号.∵31,∴当2a时,Ma取得最小值-3.2.设3()3xfx,对任意实数t,记232()3tgxtxt3(Ⅰ)求函数8()()yfxgx的单调区间;(Ⅱ)求证:(ⅰ)当0x时,()()tfxgx对任意正实数t成立;(ⅱ)有且仅有一个正实数0x,使得800()()tgxgx对于任意正实数t成立。分析:本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归(转化)思想方法(I)解:316433xyx.由240yx,得2x.因为当(2)x,时,y0,当(22)x,时,0y,当(2)x,时,0y,故所求函数的单调递增区间是(2),,(2),,单调递减区间是(22),.(II)证明:(i)方法一:令2332()()()(0)33txhxfxgxtxtx,则223()hxxt,当0t时,由()0hx,得13xt,当13()xx,时,()0hx,所以()hx在(0),内的最小值是13()0ht.故当0x时,()()tfxgx≥对任意正实数t成立.方法二:对任意固定的0x,令232()()(0)3thtgxtxtt,则11332()()3httxt,由()0ht,得3tx.当30tx时,()0ht;当3tx时,()0ht,所以当3tx时,()ht取得最大值331()3hxx.因此当0x时,()()fxgx≥对任意正实数t成立.(ii)方法一:8(2)(2)3tfg.由(i)得,(2)(2)ttgg≥对任意正实数t成立.即存在正实数02x,使得(2)(2)xtgg≥对任意正实数t成立.下面证明0x的唯一性:当02x,00x,8t时,300()3xfx,0016()43xgxx,4由(i)得,30016433xx,再取30tx,得30300()3xxgx,所以303000016()4()33xxxgxxgx,即02x时,不满足00()()xtgxgx≥对任意0t都成立.故有且仅有一个正实数02x,使得00()0()xtgxgx≥对任意正实数t成立.方法二:对任意00x,0016()43xgxx,因为0()tgx关于t的最大值是3013x,所以要使00()()xtgxgx≥对任意正实数成立的充分必要条件是:300161433xx≥,即200(2)(4)0xx≤,①又因为00x,不等式①成立的充分必要条件是02x,所以有且仅有一个正实数02x,使得00()()xtgxgx≥对任意正实数t成立.3.定义函数fn(x)=(1+x)n―1,x>―2,n∈N*(1)求证:fn(x)≥nx;(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)-f2(x)在区间[a,0]上的值域为[ka,0]?若存在,求出最小实数k的值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由.分析:本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思想方法解:(1)证明:fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx,令g(x)=(1+x)n-1-nx,则g'(x)=n[(1+x)n―1―1].当x∈(-2,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)在x=0处取得极小值g(0)=0,同时g(x)是单峰函数,则g(0)也是最小值.∴g(x)≥0,即fn(x)≥nx(当且仅当x=0时取等号).注:亦可用数学归纳法证明.(2)∵h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2∴h'(x)=(1+x)2+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x)令h'(x)=0,得x=-1或x=-13,∴当x∈(―2,―1),h'(x)>0;当x∈(―1,―13)时,h'(x)<0;5当x∈(-13,+∞)时,h'(x)>0.故作出h(x)的草图如图所示,讨论如下:①当-13≤a<0时,h(x)最小值h(a)=ka∴k=(1+a)2≥49②当-43≤a≤-13时h(x)最小值h(a)=h(-13)=-427=kak=-427a∴19≤k≤49③当a=-43时h(x)最小值h(a)=a(1+a)2=kak=(1+a)2≥19,a=-43时取等号.综上讨论可知k的最小值为19,此时[a,0]=[-43,0].例4.已知)(22)(2Rxxaxxf在区间]1,1[上是增函数。(1)求实数a的值组成的集合A;(2)设关于x的方程1fxx的两个非零实根为1x、2x。试问:是否Rm,使得不等式||1212xxtmm对Aa及]1,1[t恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。分析:本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归(转化)思想方法解:(1)∵)(xf)(222Rxxax∴222)2(2)2()2(2)(xxaxxxf222)2()2(2xaxx∵)(xf在]1,1[上∴)(xf0)2()2(2222xaxx对]1,1[x恒成立即]1,1[x,恒有022axx成立设2)(2axxxg∴]1,1[01)1(1101)1(Aagaag(2)xxaxxf122)(2022axx∵082a∴1x、2x是方程022axx的两不等实根,且axx21,221xx6∴]3,22[84)(||22122121axxxxxx∵||1212xxtmm对Aa及]1,1[t恒成立∴312tmm对]1,1[t恒成立设)2()(2mtmth,]1,1[t∴0)(th对]1,1[t恒成立∴122102)1(02)1(22mmmmmmhmmh或或∴),2[]2,(m满足题意6.设函数),1,(11)(NxnNnnxfn且.(Ⅰ)当x=6时,求nn11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)2()2(fxf>);)()()((的导函数是xfxfxf(Ⅲ)是否存在Na,使得an<nkk111<na)1(恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.(Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是335631201Cnn(Ⅱ)证法一:因22112211nfxfnn2211211nnn11211nnn121nn1121ln12nn'1121ln12nfxnn证法二:因22112211nfxfnn2211211nnn11211nnn而'11221ln1nfxnn7故只需对11n和1ln1n进行比较。令ln1gxxxx,有'111xgxxx,由10xx,得1x因为当01x时,'0gx,gx单调递减;当1x时,'0gx,gx单调递增,所以在1x处gx有极小值1故当1x时,11gxg,从而有ln1xx,亦即ln1lnxxx故有111ln1nn恒成立。所以'222fxffx,原不等式成立。(Ⅲ)对mN,且1m有2012111111mkmkmmmmmmCCCCCmmmmm
本文标题:高考数学压轴题(函数,数列,圆锥曲线)精选题库
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