2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.1.二元一次不等式表示的平面区域知识梳理ax＋by＋c＝02.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式组线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求或的函数线性目标函数关于x，y的解析式一次最大值最小值一次可行解在线性规划问题中，满足的解(x，y)可行域由所有组成的集合最优解使目标函数取得或的可行解，通常在可行域的顶点处取得二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题约束条件可行解最大值最小值画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.3.重要结论1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.2.最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.()(2)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.()思考辨析√×√(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.()(5)线性目标函数的最优解是唯一的.()(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.()(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()√×√×1.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是A.(0,0)B.(－1,1)C.(－1,3)D.(2，－3)考点自测答案解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2.(教材改编)不等式组x－3y＋60，x－y＋2≥0表示的平面区域是答案解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C.A.0B.3C.4D.53.(2016·北京)若x，y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为答案解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由2x－y＝0，x＋y＝3，得x＝1，y＝2，所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.几何画板展示4.(教材改编)已知x，y满足－x＋y－2≥0，x＋y－4≤0，x－3y＋3≤0，则z＝－3x＋y的最小值为___.答案解析0画出可行域为阴影部分.z＝－3x＋y，即y＝3x＋z过交点A时，z最小.解－x＋y－2＝0，x＋y－4＝0得x＝1，y＝3，∴zmin＝－3×1＋3＝0.几何画板展示5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900，x≥0，y≥0答案解析题型分类深度剖析例1(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题答案解析(2)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于A.32B.23C.43D.34答案解析例2(1)(2015·重庆)若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为A.－3B.1C.43D.3命题点2含参数的平面区域问题答案解析(2)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是___________.答案解析73几何画板展示思维升华(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.跟踪训练1(1)若函数y＝2x图像上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为A.12B.1C.32D.2答案解析几何画板展示A.1B.－1C.0D.－2(2)已知约束条件x≥1，x＋y－4≤0，kx－y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为答案解析由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直.①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求.②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求.题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3(2016·陕西西工大附中模拟)已知实数x，y满足x＋y－2≤0，x－y≤0，x≥－3，则z＝|x＋4y|的最大值为答案解析A.9B.17C.5D.15命题点2求非线性目标函数的最值例4实数x，y满足x－y＋1≤0，x≥0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.解答几何画板展示引申探究1.若z＝y－1x－1，求z的取值范围.解答z＝y－1x－1可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率.∴z的取值范围是(－∞，0].2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.解答z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ2max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ2min＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12，∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝12＋1＝32.命题点3求参数值或取值范围例5(1)已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.5答案解析(2)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.答案解析12思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.跟踪训练2(1)已知变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0.若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于答案解析A.－2B.－1C.1D.2(2)当实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________.答案解析[1，32]画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a0，数形结合知，满足1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32.所以a的取值范围是[1，32].题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；解答依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解答思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.跟踪训练3某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型和B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解答含参数的线性规划问题现场纠错系列8错解展示典例(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是___.(2)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝_______.y≥0，y≤2x，y≤kx－1－1x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，现场纠错纠错心得课时作业1.若点(m,1)在不等式2x＋3y－50所表示的平面区域内，则m的取值范围是A.m≥1B.m≤1C.m1D.m1√答案解析由2m＋3－50，得m1.1234567891011121314152.若函数y＝log2x的图像上存在点(x，y)，满足约束条件x＋y－3≤0，2x－y＋2≥0，y≥m，则实数m的最大值为A.12B.1C.32D.2√答案解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图像过点(2,1)时，实数m有最大值1.1234567891011121314153.直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20答案解析A.0个B.1个C.2个D.无数个√1234