第11讲-平行四边形存在性问题

数学教研组编写八年级春季北师大版课件第十一讲平行四边形存在性问题1．平行四边形的存在性问题分为两类：（1）三定一动如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，平面内符合条件的点有3个．以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的3个交点，即我们要找的第四个顶点．如图：ABCD1D2D3（2）两定两动如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．在限定条件下作图找点，求解点的坐标．2．求解点的坐标利用平行四边形的性质——对角线互相平分，由中点坐标公式可得平行四边形四个顶点坐标存在一定的等量关系ACBDACBDxxxxyyyyì+=+ïí+=+ïî，即平面直角坐标系内，平行四边形相对两顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．A(xA,yA)B(xB,yB)C(xC,yC)D(xD,yD)O考点一三定一动例1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－12x＋32与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由．ABxOy=-12x+32yy＝xABxOy=-12x+32yy＝x图1图2【答案】解：（1）∵直线y＝－12x＋32与y＝x相交于点A，∴联立得1322yxyx，解得11xy，∴点A（1，1），∵直线y＝－12x＋32与x轴交于点B，∴令y＝0，得－12x＋32＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（－2，1），ABxOy=-12x+32yy＝x图1C②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），ABxOy=-12x+32yy＝x图2C③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，－1）综上，符合条件的点C的坐标有（－2，1），（4，1），（2，－1）ABxOy=-12x+32yy＝x图3CEF变1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA＝3，OB＝4，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．当t＝2时，在坐标平面内是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．ABPQxyO-4-3-2-11234【答案】结论：存在．提示：由A、B坐标可以求出直线AB的解析式y＝－34x＋3，由题目知，BQ＝4，AQ＝1，则通过两点间距离可以求出Q点坐标Q（45，125）．通过坐标法分三种情况讨论，可以分别求出M点坐标：M1（45，25），M2（45，225），M3（－45，85）．变2．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．ABCOxy图1ABCOxy图2【答案】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，90CMAAOBMACOBAACAB，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6，∴点C的坐标为（－6，－2）ABCOxy图1M（2）答：如图2，存在三个H点，∵A（－2，0），B（0，－4），C（－6，－2），∴根据B到A的平移规律可得C到H1的平移规律，则H1（－8，2），同理得H2（－4，－6）、H3（4，－2）ABCOxy图2H3H2H1考点二两定两动例2．如图1，在平面直角坐标系中．直线y＝－12x＋3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．ABCDEOxy图1ABCDEOxy图2C′B′D′备用图ABCDEOy【答案】（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB＋∠DCE＝90°，∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，∵BC＝CD，∴△BOC≌△CED．（2）∵△BOC≌△CED，∴OC＝DE＝m，BO＝CE＝3，∴D（m＋3，m），把D（m＋3，m）代入y＝－12x＋3得到，m＝－12（m＋3）＋3，∴2m＝－m－3＋6，∴m＝1，∴D（4，1），∵B（0，3），C（1，0），∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3，设直线B′C′的解析式为y＝－3x＋b，把D（4，1）代入得到b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝－3x＋13，∴C′（133，0），∴CC′＝103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）解：如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，易知直线PC的解析式为y＝－12x＋12，∴P（0，12），∵点C向左平移1个单位，向上平移12个单位得到P，∴点D向左平移1个单位，向上平移12个单位得到Q，∴Q（3，32），当CD为对角线时，四边形PCQ″D是平行四边形，可得Q″（5，12），当四边形CDP′Q′为平行四边形时，可得Q′（－3，92），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（3，32）或（5，12）或（－3，92）．ABCDOy图3xPP′Q′QQ″变3．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标B(0，2)、C(6，2)，AB＝AC＝5．（1）求点A的坐标；（2）将直线AB向右平移，经过点C，与y轴相交于点D，求直线CD的解析式；（3）点P是直线CD上的一个动点，点Q是y轴上的一个动点，当以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．xyOBCAD【答案】（1）（3，6）；（2）y＝43x－6；（3）P1（3，－2），P2（9，6），P3（－3，－10）变4．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图，A，B坐标分别为(－2，0)，(0，4)，将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．ABCDEOyx【答案】解：（1）∵A（－2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD，∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°，∴∠CEB＝90°，∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE，在Rt△ABE和Rt△DCE中ABCDBECE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；（2）由（1）可知D（4，0），且B（0，4），∴直线BD解析式为y＝－x＋4，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，∴M点的纵坐标为2，在y＝－x＋4中，令y＝2可得x＝2，∴M（2，2）；当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为－2，在y＝－x＋4中，令y＝－2可求得x＝6，∴M点的坐标为（6，－2）；综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，－2）