简谐振动 旋转矢量法

简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表示法、旋转矢量法、复数法等等。一、代数法xAtcos()系统固有角频率相位初相位振幅其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量二、图示法：)cos(0tAx（振动曲线）三、复数法()itzAe由欧拉公式cossiniei简谐振动的运动学函数应是复数z的实部即()Re[]itxAe复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用四、旋转矢量法用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。旋转矢量法xoAcos0Ax当时0t0xxoAttt)cos(tAx时以为原点,旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAo对应关系t←→相位←→初相位←→圆频率A←→振幅xoAttt)cos(tAx时（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图txMPxAMPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限1v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限2v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限2v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限2v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限2v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限2v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限2v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限3v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限3v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限3v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限3v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限3v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限3v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限4v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限4v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限4v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限4v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限4v0MPxA注意：旋转矢量在第速度象限4v0一、二象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿负向三、四象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿正向111222cos(),cos(),xAtxAt两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：.2,1,0)4(;1,2,0)3(;,)2(;,0)1(21121212落后振动超前称振动落后振动超前称振动称反相称同相对于沿x轴振动的两个同频率的简谐振动：用旋转矢量表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相位反相位21相位差确定以下几种情况的初相位解：普通物理学教案例题1：0xA00xA0/2xA正向运动/40/2xA正向运动2/3作参考圆解：普通物理学教案例题2：两振子，都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。xA10/2xA20/2判定两振动之间的相位差，是一个在实际工作中经常遇到的问题。用旋转矢量法由图可见21首先考查从A/2到A的相位差从旋转矢量图上可以得出210()332tT由匀速运动的等时性126tTT所以，渡越时间为谐振子从A/2的位置过渡到A的位置，最短历时是多少?例题3：简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式．例题4：)cos(0tAxA=5(m);T=2(s),T2(rad/s))cos(0tAxA=5(m);(rad/s)t=0时：,2/1/cos00Ax30初速度方向指向平衡位置，00sin0,vA305cos(3)xt(m)某振子x-t图和v-t图如下，写出振子的运动学方程。普通物理学教案例题5：由x-t图，A=2，x0=-A/2，向平衡位置移动解：4323或找到谐振动的特征量，问题就解决了。x-t图上ω或T信息不明确，由速度幅，vAmaxvmax10m/svA-1max/5s再看v-t图xt22cos(5)3振动方程为某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动222111coscostAxtAx合振动21xxx1、应用解析法tAAtAAtAtAxxxsinsinsincoscoscoscoscos22112211221121＋＝22112211coscoscossinsinsinAAAAAAtAtAtAxcossinsincoscos＝＝)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg令一、同方向、同频率谐振动的合成16-4简谐振动的合成11A1xx0两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动二、应用旋转矢量法:xxtooA1A2AT1）相位差π212k),210(，，k)cos(212212221AAAAA讨论21AAAxxtoo21AAA)cos(212212221AAAAAT2A1AA2）相位差π)12(12k),10(，k再若A1=A2,则A=02120,1,2,kk两分振动相互加强21AAA21(21)0,1,2,kk两分振动相互减弱21AAA若两分振动同相位：若两分振动反相位:221212212cos()AAAAA结论其它情况2121AAAAA例.有两个同方向的简谐振动，它们的表式如下：(1)求它们合成振动的振幅和初相位；0.06cos(10t+π/4)mx2=0.05cos(10t+3π/4)mx1=问φ0为何值时x1+x3的振幅为最大；(2)若另有一振动0.07cos(10t+φ0)mx3=φ0为何值时x2+x3的振幅为最小。(式中x以m计;t以s计)=0.078mφ2A1A2cos()++=A22A1A22φ1=(0.05)2+(0.06)2+2×0.05×0.06cos(-π/2)arctg+=φ1A1sinφ2A2sinφ1A1cosφ2A2cos+φ解：(1)+arctg=220.05×0.06×0.05×+0.06×222222()arctg=11()=84048´返回结束(2k+1)π4πφ3=(2)πφ3=34π+2kφ3=2k34ππ+2kφ3=54ππ例.三个同方向、同频率的谐振动为试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。0.1cos(10t+π/6)mx1=0.1cos(10t+π/2)mx2=0.1cos(10t+5π/6)mx3=+=A1A3A´+=A2A´=A+A1A2A3+A2Aφ2φ1A3A1A´xoφ3=56πφ3=2πφ2=6πφ1解：=A1A2A3==0.1=A1A2=0.2=2πφ0.2cos(10t+π/2)mx=二两个相互垂直的同频率简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx质点运动轨迹1）或π2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao（椭圆方程）讨论yx1A2Ao2）π12xAAy123）2π121222212AyAxtAxcos1)2πcos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao用旋转矢量描绘振动合成图简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差三两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)cos(111tAx)cos(222tAyyxyxnxny达到最大的次数达到最大的次数2π,8π3,4π,8π,0201测量振动频率和相位的方法李萨如图