2.1.2椭圆的简单几何性质(1)

12.1.2椭圆的简单几何性质（1）高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程2复习：1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2||||2121FFaaPFPF当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay3二、椭圆简单的几何性质-a≤x≤a,-b≤y≤b知,122ax得：122byoyB2B1A1A2F1F2cab1、范围：椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中4椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）52、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，叫椭圆的中心。63、椭圆的顶点（截距）)0(12222babyax令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)7123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A184、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0e11）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:222221ababaace思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？9222221612:9362,yxxyC1问：对于椭圆C与椭圆：更接近于圆的是。2C10标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c211标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前12例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是：。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。1068(5,0),(0,3)(0,4)60解题的关键：192522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置45题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b13已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是：.离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。262)5,0(52630(0,6)(1,0)4616122yx其标准方程是51622bacba则练习1.14练习求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。（1）x2+9y2=81(2)25x2+9y2=225(3)16x2+y2=25(4)4x2+5y2=122(1)1819xy22(3)1252516xy22(2)1925xy22(4)11145xy15练习：已知椭圆的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。22(3)(0)xmymm3,2e2213xymmm椭圆：222(2),,33mmmambcmm22334mem1m22a长轴长21b短轴长3,0)2焦点坐标(11,0),(0,)2顶点坐标(16例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P22194xy所求椭圆方程为：解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。17例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P22194xy解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为18例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量2222111006410064xyyx椭圆方程为：或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程3220,5caea：解(2)10,6ac8.b19例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点32,4P222211145290363249xyyx椭圆方程为：或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程一焦点将长轴分成２：１解:(3)的两部分():()2:1acac3ac228bc22222222119889xyxycccc椭圆方程可设为：或22222222(32)4(32)4119889cccc或32,4P椭圆过，22145436cc或20练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。2222119981xxyy或分类讨论的数学思想232ab3ab3,1ab39ba或，21练习：1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。①长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上②长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。22169xy①+=12294yx②+=1223425xy③+=12210064xy⑤+=1224536xy④+=1222.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。6c2ab362a43,23ab2214812xy椭圆方程为：23105x练习：已知椭圆中心在原点，它在轴的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点距离为，求这个椭圆方程。105acbc2ac221105xy椭圆方程为：5c10,5ab24例3：(1)椭圆的左焦点是两个顶点，如果到F1直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=.22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0,)AaBb7b题型三：椭圆的离心率问题::0ABbxayab解直线方程为122.7FABbcabbdba222bac2227()2acac2251480aacc24.acac或51.2cea1225例3：(2)设M为椭圆上一点，为椭圆的焦点，如果，求椭圆的离心率。22221(0)xyabab12FF、122175,15MFFMFF题型三：椭圆的离心率问题012211275,1590MFFMFFFMF解：，1212sin15sin75sin90MFMFFF由正弦定理：1212sin75sin15sin90MFMFFF22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea26题型三：椭圆的离心率问题1113(3):FA,,POAB(O)例已知F为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF为椭圆中心时,求椭圆的离心率．2222::1xyab解设椭圆方程为11FAPF2(,)bPca(,0),(0,)AaBbPOABPOABkk2/babcabc22.22cceac27练习：12212FFFPFPF()221..C.2-2.2122ABD1.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　　，，D28小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。