5章旋翼弹性桨叶动力学II

硕士学位研究生专业课程直升机旋翼动力学第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)5.1旋翼弹性桨叶结构分析模型5.1.1旋翼桨叶的运动学描述直升机旋翼由多片桨叶构成，以常角速度绕旋翼轴旋转。在结构模化上，每片桨叶可以用一根细长的柔性梁表示。桨叶可以有偏置、预锥、预扭、预掠以及刚心、质心、剪心各不重合。桨叶可以分成任意个梁段(或梁单元)，各梁段之间可以有夹角，即构成一折梁，桨尖后掠部分通常用一个梁段模拟，每一梁段又可划分若干梁单元。这样，单纯的后掠桨尖就是这种折梁的一个特例。第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)在前飞情况下，直升机旋翼的运动状态非常复杂，为了描述旋翼的几何构形和运动状态，需引入一系列坐标系：(1)固定桨毂坐标系，记为THe(,,)IJKHHH(2)旋转桨毂坐标系,记为THre(,,)IJKHrHrHr(3)第k片桨叶的连体坐标系TbTBree,即(,,)IJKBrBrBr)ˆ,ˆ,ˆ(bbbkji和(4)第k片桨叶第m个单元的弹性轴系，包括变形前和变形后坐标系TkmeTkme即)ˆ,ˆ,ˆ(mmmkji(,,)mmm第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)ˆˆˆHrHrHrIJKˆcossin0ˆsincos0ˆ001HHHIJKˆˆˆHHRHHIJKT=不旋转桨毂坐标系向旋转桨毂坐标系转换桨毂旋转坐标系向无变形桨叶坐标系转换^^^ˆcos0sinˆ010ˆsin0cosHrPPHrPPHriIjJKkˆˆˆHrHrURHrIJKT第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)^^^ijkˆcoscoscossinsinˆsincos0ˆsincossinsincosHPPPHPPPHIJK所以，不旋转桨毂坐标系向无变形桨叶坐标系转换ˆˆˆHUHHHITJK第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)变形前与变形后的转换矩阵第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)代入后可得？第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)假定我们将桨叶划分为若干个单元现取第k片桨叶的第m个单元内任意剖面上的任意一点p在Tkme系中的坐标为(,,)x则桨叶变形前，p点相对桨毂中心的位置矢量为：pTkmmnnnbHXeilr10ˆ其中，TTTTTpxX]cossin,sincos,[为第n个单元的长度lnT为在m第个单元坐标系中的转角第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)桨叶变形后，p点相对桨毂中心的位置矢量：)(10mmnnmnTkmbHXLeRT式中TnnlL]0,0,[mnT为第ｋ片桨叶上第n个单元的坐标系到第m个单元(n＜m)的坐标系间的转换关系,即knmnkmeeTTmzyxX],,[且TTTTTewzvywzwvyvuuxxcossinsincos)()(ˆ为在ｍ单元变形前坐标系中的方向矢量'P可以理解为是另外两个方向的变形在ｘ方向引起的翘曲第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)其中uvwe,,为弹性线位移为弹性扭转角xtmTdxvw0tm为p点所在剖面相对ijmm平面的预扭角u为由于桨叶弯曲而产生的轴向位移nlnnnmnnmnxdswvuudxwvu022)(10)()1,1(022)(21)(21T第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)10mnnmnTkmLeT表示第m个单元的内侧所有节点即该单元坐标系原点的坐标转换到Tkme系中进一步写成mTkmmmTkmbHXeXHeR)(TTozoyoxHHHH],,[TozoyoxHHH],,[为第m个单元坐标系原点在桨叶总体系即be系下的坐标第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)mT为第m个单元坐标系与桨叶总体坐标系的转换矩阵bbbmmmmkjikjiˆˆˆˆˆˆT第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)5.1.2桨叶运动方程桨叶的运动方程可以由哈密顿原理导出。桨叶分成若干个梁单元，则哈密顿原理的离散形式可写成210)(1ttNmmmmdtWTU式中，N为单元总数mU为第m个单元的应变能mT为第m个单元的动能mW为作用在第m个单元上的外力功第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)5.1.2.1桨叶单元的应变能一、应变－位移关系：基于中等变形、小应变假设，设桨叶弹性轴上任一点P变形前与变形后的位置如前图所示uvwA点沿X1、Y1、Z1轴的位移分别为桨叶扭转变形为借助Euler角的概念，假定转换次序为摆振－挥舞－扭转，得到坐标系xyz与坐标系X1Y1Z1之间的转换关系为：ijkTIJK111DE第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)式中22220000002200122ˆT[cos()sin()]cos()(1)sin()(1)22sin()cos()ˆsincos()(1)cos()(1)22DEvwvwvwvwvwvwvwvw式中0为扭转角为弹性扭转变形为几何扭转角式中的一撇表示对x的一阶导数，以下同与的关系为:vwdxx0第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)进一步借助于应变张量的概念，)]ˆcos()ˆsin([)]ˆsin()ˆcos([)2)(()(2122222TxTxTxTxtwTxxwvwvuˆˆˆ)(ˆˆˆ)(TxTx其中对于线性扭转00,TxtwTxkme为系下的剖面扭转角与以往不同的是Tx中不含有变距角c这与所取的参考系不同有关可以得到P点所在剖面上的任一点的应变－位移关系为第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)二、桨叶单元的应变能单片桨叶的应变能变分为NmlAxxxxxxxxNmmbmdxddUU101)(式中的xxxx和由本构关系式给出对应变－位移关系式求一阶变分得到应变的变分xxxx、和第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)ˆ))ˆsin()ˆcos(())ˆcos()ˆsin((ˆ))ˆcos()ˆsin(())ˆsin()ˆcos(())((00000000022wwvvuTxx)()(xx其中wvvwvwˆˆwwvvuuwvuuee)(2122第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)对于各项同性材料桨叶，其本构关系较为简单xxxxxxxxGGE代入应变能表达式dxUUUwUvUwUvUuUUUNmlwvwveuNmmbme)ˆˆˆ(ˆˆˆ101第五章旋翼弹性桨叶动力学(II),2,2''20''0000'[(''')]2[''(cossin)(sincos)]ccAAuAUEAukwvkEAevw22''''0000''00200''''002''2'''10020''(cossin)()cossin(cossin)'cos()cos2()sin2()'''cosvZyZyAeZyZyAeUvEIEIwEIEIEAeuEBwEIEIvEIEIGJEBwEAkwuEC第五章旋翼弹性桨叶动力学(II),'2''2''''100()'AewUGJEBvEAkvu22''''0000''00200''''0020''(cossin)()cossin(sincos)'sin()cos2()cos2''coswyzZyAeZyZyUwEIEIvEIEIEAeuEBwEIEIvEIEIEC''2000200()cossin''''()cos2''()cossinZyZyZyUwEIEIwvEIEIvEIEI第五章旋翼弹性桨叶动力学(II),'2''2''''100()'AewUGJEBvEAkvu22''''0000''00200''''0020''(cossin)()cossin(sincos)'sin()cos2()cos2''coswyzZyAeZyZyUwEIEIvEIEIEAeuEBwEIEIvEIEIEC''2000200()cossin''''()cos2''()cossinZyZyZyUwEIEIwvEIEIvEIEI第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)22222222221222212()()()()AAAyAzAAAAAATATAEAEddEAeEddEIEddEIEddGJGddEAkEddEBEddEBEddECEddECEdd第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)2200()0AAAEddEddEdd第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)(以上结果均由计算机代数语言MathematicV3.0推导，不带有任何人为处理，以保证推导结果的正确性，同时，推导结果可由计算机直接转换为FORTRAN语言格式。当然，也可用其他计算机代数语言、如MapleV4.0等推导。)第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)三、桨叶单元的动能记eeeHrbkm、、的绝对角速度分别为rbkm、、并记eHr相对eHeb相对eBr的相对角速度分别为rb、则有：rITrebITbereHrTrbebTb其中Tr],0,0[为旋翼转速Tpb]0,0,[eI为惯性坐标系第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)当旋翼轴固定时,则有rrbrbkmb,,由mTkmbHXeR可知)~(mkmmTkmbHbXXedtRdV)~(mkmmTkmbXXeV第五章旋翼弹性桨叶动力学(II)以bV表示将bV在ekm内对时间变量求导以dtVdb表示将bV在惯性坐标系eI内对时间变量求导)~~(mkmmkmmTkmbXXXeV)~~~2~(~)~()~~(mkmkmmkmmkmmTkmkm