(MBA)概率基础知识

概率基础知识第一节随机事件及其概率第二节随机变量及其分布第三节随机变量的数字特征第四节几个重要的统计分布第一节随机事件及其概率一、随机试验与随机事件随机试验——对随机现象进行的多次、大量的试验和观察，称为随机试验。随机试验的特点：1、可以在相同条件下重复进行；2、在一次试验中有多个可能出现的结果，并且所有可能出现的结果是已知的；3、每一次试验只出现这些结果是的一个，但试验完成前不知道会出现哪一个结果。随机事件——在一次试验中可能发生可能不发生、但在大量重复试验中又存在某种规律性事情，称为随机事件。基本事件——由试验中的一个基本结果组成的随机事件。复合事件——由试验中若干个基本结果组成的随机事件。随机事件又分为基本事件与复合事件两种。必然事件——在一次试验中必然发生的事情。不可能事件——在一次试验中必然不发生的事情。通过样本空间，将集合与随机事件之间建立起了联系。样本空间————全集；必然事件————全集；不可能事件———空集；随机事件————子集；基本事件————单点子集；复合事件————多点子集样本空间——一个随机试验中，所有可能出现的基本结果构成的集合，称为样本空间，记为；D；C；B；A；i：，，，，，，：i取到的球号是负数取到的球号不超过取到的球号小于取到奇数号球号球取到第记观察其号码从中任取一个号码的分别标有个相同的球盒子中装有例——10——5——————1021101，DD；，CCBA：i是不可能事件是必然事件基本事件于是};,,,,{};,,,{};{—975314321二、事件的关系与运算事件的包含——如果A发生必然导致B发生，则称A包含B，记为BABA。BAA，BB，A记为相等与则称包含同时包含如果事件相等——B）AB（A，BA，，BA或记为的和与这样的事件称为件发生至少有一个事两个事件中与并事件的和——)(B）AAB（，BA，BA或记为的和与事件称为这样的两个事件中同时发生与交事件的积——)(BA，BA，BA记为的差与这一事件称为不发生发生而事件的差——。BA），（ABBA是两个互不相容的事件与则称不可能同时发生与如果不相容事件0——BA：。A，BA），（ABBA），B（AB，A即记为是相互对立的事件与则称不可能同时发生与同时至少有一个发生与如果一次试验对立事件0——},,,,{};,{};,,{};,{};,,,,,{1086424297531975432,1AABBAABB：A于是；D；C；B；A；i：，，，，，，：i取到的球号是负数取到的球号不超过取到的球号小于取到奇数号球号球取到第记观察其号码从中任取一个号码的分别标有个相同的球盒子中装有例——10——5——————1021102D；）（C；）（B；）（，iA，n：i——3——2——13恰有一个零件是次品至少有一个零件是次品所有零件都是正品事件用事件的运算表示下列是正品个零件表示第以个零件一个工人生产了例nnnnnnAAAAAAAAAA）D（AAA）C（AAA）B：（11321212121321解三、频率与概率).(——Af，ANm，mA，N记为发生的频率为事件则称次出现了事件次重复试验中如果在频率).(——AP，Ap，，，pA，记为概率为事件称则波动幅度越来越小着试验次数的增大且随附近波动数的频率在一个确定的实如果事件复进行将试验在相同条件下重概率nmAAPA，，，样本点总数包含的样本点个数的概率则事件可能性相等每个基本事件发生的并且在一次试验中一个有限集合如果试验的样本空间是古典概率)(——？：；，）（；，）（。，，：个白球的概率是多少取得的三个球中恰有两问每次取一个球放回地抽取三次每次取一个球不放回抽取三次如果个白球上红球其中个球袋子里有例21515204概率的性质)()()();()()(,:6)(1)(:5);()()()(:4ABPAPBA：PBPAPBAPBAAPAPABPBPAPBAP一般地那么如果性质性质性质)()()()(:3;0)(,1)(,1)(0)(:2;0)()(:1BPAPBAP，BAPPAPAP则互不相容与如果可加性性质且规范性性质非负性性质四、条件概率与乘法公式}{}{165取到白色球取到玻璃球记从盒中任取一球示其颜色和材料如下表所个木球共白色的玻璃球盒子中装有涂成红色和例，BA，。，、：玻璃球木球合计红色235白色4711合计61016求（1）取到的球是白色的球的概率？（2）取一个玻璃球它是白色玻璃球的概率？.)()()|()|(,)()(0)(——APABPAB：P。ABPAPABPBA。AP，BA即记为发生的概率为发生的条件下且是两个随机事件和设条件概率)|()()(ABPAPABP概率的乘法公式niiiiniinABPAPBPB，，APA，AAA1121)|()()(0)(,,,,有个事件则对于任意一又且是一组互不相容的事件设全概率公式)|()()|()()|(00)(,,,,121iikkkiniinABPAPABPAPBAPB，，APA，AAA有的事件个概率不为则对于任意一又且是一组互不相容的事件设逆概率公式。BA，BPABPBPAB，P相互独立与则称事件如果在一般情况下)()|()()|(五、独立事件与独立试验。BAB，A，BA，BA）（BPAPABPBA）（都独立与与与则独立与如果相互独立与事件2)()()(1独立事件有以下结论：。n，，n试验是独立试验次则称这验结果的影响都不受其他任何一次试什么结果如果任何一次试验出现次试验中在。n，nAA重贝努利试验称这样的试验为次进行在相同条件下独立重复将这一试验与结果如果一个试验只有两个,贝努利定理：),,1,0()1()()(nkppCk：pkAnp，APA，nknkknn次的概率为恰好发生次试验中事件则在概率为发生的如果每次试验事件重贝努利试验中在？：，，。，：决策正确的概率为多少问策并以多数人意见作出决某一方案征求顾问意见现在该机构就性为问作出正确判断的可能每个顾个人组成的顾问小组某机构有一个由例%7096第二节随机变量及其分布一、随机变量。X，xXx，，XR、是一个随机变量则称都是一个随机事件如果对于任何一个实数的单值函数取值于实数集上定义在样本空间随机变量)(})(|{)(——离散型随机变量——所有取值只有有限个或可列无穷个的随机变量。连续型随机变量——取值充满一个区间的随机变量。二、离散型随机变量的分布：XX数表达形式个值的概率的表格或函取每一所有可能取的值及将离散型随机变量。X，X的分布简称为的概率分布列称为分布列的性质：1)2(0)()1(iiip；xXPp)(XPnxxx21nppp21X)(iixXP：p其中”“)2(”“)1(7取到合格品取到废品件用随机变量表示下列事一件进行检验从这批产品中任取三级产品为废品合格品二级产品为一三级二一批产品分为一例；：，。，、，、、：}{)2()1()2(}{}{)3(——产品是合格品产品是废品产品是三级产品于是产品的等级数设解XXXXX：常用离散型随机变量的分布1、二点分布（0—1分布）。X，X，，：的分布求表示检测到的次品个数用验从中任取一件进行检一批产品的次品率为例%58010.950.05X)(XP。X，ppPXX分布服从则称的分布列为如果随机变量101102、二项分布。，XAnXpA，n布称为二项分布的分发生的次数次试验中事件在表示为发生的概率若一次试验事件重贝努利试验中在”“,：，X的分布为由贝努利定理可知),,1,0()1()(nkppCkpknkknn二项分布与0-1分布的关系。XXXX，，XXX）（。X，，kn，）（nn服从二项分布则分布并且服从相同的相互独立如果分布的分布为这时或只能取值时当在二项分布中212110,,,21010113、几何分布。XkPpkXP：Xk服从几何分布则称的分布列为如果随机变量,3,2,1)1()(1。X，。X，，。，：的分布求抽取次数表示直到检测到次品为止个检测后放回再抽检第二抽取一个进行检验从中任意个次品其中有个产品盒中有例”“42094、超几何分布。XnkCCCkXP：XnNknMNkM服从几何分布则称的分布列为如果随机变量,,2,1,0)(。X，，XM（nn。M，N：的分布求品个数抽到的次表示个产品进行检验从中任取个次品其中有个一批产品共例”“)10三、随机变量的分布函数定义：。XXF，xXPxF，x，X布函数的分是随机变量则称令是任意一个实数是一个随机变量设)()()(分布函数具有以下性质：；xFxF；xF；xF；xFxxx1)(lim;0)(lim)4()()3()()2(1)(0,)1(是右连续的函数是单调递增的函数都有对任何实数四、连续型随机变量定义：。Xx，fX，dttfxFxf。XxFx率密度函数的概为是一个连续型随机变量则称使得个非负的函数如果存在一的分布函数是随机变量设)()()(,0)()(密度函数的性质：;1)()2(;0)()1(dxxfxf分布函数与密度函数的关系：)()(xFxf正态分布),(~21)(222)(22NX，Xxex：Xx记为的正态分布和为服从参数为则称的密度函数为如果连续型随机变量定义：标准正态分布。称为时的正态分布且当，10220221)(xex数为标准正态分布的密度函。xxx）（；xx）（；yx）（：Nx的渐近线轴是即处取得最大值在轴对称关于分布密度函数的性质)(,0)(lim3210)(2)(1)1,0(000)1,0(~),(~)2()()()(),(~)1(202NXy，NXxxXPx，NX则若则有若一般正态分布与标准正态分布的关系：五、随机变量的数字特征（一）数学期望iiixpxXE：X)()(的数学期望定义为离散型随机变量dxxfxXE：X)()(的数学期望定义为连续型随机变量1、数学期望的定义数学期望反映随机变量取值的平均水平。2、数学期望的性质；YEXEXYE，YX；YEXEYXE；XEkXkEa；XEaXEc；c：E。)()()()5()()()()4()()()3()()()2()()1(则有独立与若即己任何常数的期望是它自3、常用随机变量的数学期望01pppXE1)1(0)(npXEnkppCkXPknkkn)(,2,1,0)1()()2(二项分布分布10)1(X)(XPp1p)(),(~)3(2XENX正态分布（二）方差——反映随机变量取值的分散程度1、方差的定义与计算公式。XDXVX）（DX，XEXXE，EXXEX的标准差称为或记为的方差为则称存在的如果随机变量.)()(22222)()(EXEXEXXEDXdxxfEXx，DX；xpEXx，DXiii)()()()(22对于连续型随机变量对于离散型随机变量2、方差的性质DYDXYX：D，YXDXaaXDDXcXD：Dc。)()4()()3()()2(00)1(2则有相互独立与若即常数的方差等于3、常用随机变量的方差)1()(ppXD)1()2(pnpDX二项分布分布10)1(;),(~)3(22DXNX正态分布（三）随机变量的矩、协方差和相关系数1、随机变量的矩。klYXEYYEXXE。klYXYXEV，kXEXXEM，kXXElklkkkkk阶混合中心矩的与称为混合中心矩阶混合原点矩的与称为混合原点矩记为阶中心矩的称为中心矩记为阶原