《方程的根与函数的零点》课件2

3.1.1方程的根与函数的零点等价关系判断函数零点或相应方程的根的存在性例题分析课堂练习小结布置作业思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:[－2,1]f(－2)0f(1)0f(－2)·f(1)0（－2,1）x＝－1x2－2x－3＝0的一个根[2,4]f(2)0f(4)0f(2)·f(4)0（2,4）x＝3x2－2x－3＝0的另一个根.....xy0－132112－1－2－3－4－24观察对数函数f(x)=lgx的图象:[0.5,1.5]f(0.5)0f(1.5)0f(0.5)·f(1.5)0（0.5,1.5)x＝1lgx=0的一个根.xy0121...如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点.xy0ab..xy0abxy0ab....由表3-1和图3.1—3可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数.123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y24108612148764321923练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=－x3－3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x－2)－3；（3）f(x)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.有没有有没有有没有有没有xy01(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根.(1)－x2＋3x＋5＝01(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根.(2)2x(x－2)＝－31(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方程x2＝4x－4有两个相等的实数根.xy0－13211254364(3)x2＝4x－41(4)解：5x2+2x＝3x2+5可化为2x2＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5,作出函数f(x)的图象，如下：xy0－132112－1－3－3－43－6－54－4－2－2.....它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x＝3x2+5有两个不相等的实数根.(4)5x2＋2x＝3x2＋52(1)解：作出函数的图象，如下：因为f(1)=10,f(1.5)=－2.8750,所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1,1.5)上有零点.又因为f(x)是(－∞,＋∞）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.xy0－1321125432(1)f(x)=－x3－3x+5.....2(2)解：作出函数的图象，如下：....因为f(3)＝－30,f(4)≈2.5450,所以f(x)=2x·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点.又因为f(x)=2x·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，所以在区间(3,4)上有且只有一个零点.xy0－1321125-3-242(2)f(x)=2x·ln(x－2)－32(3)解：作出函数的图象，如下：....因为f(0)≈－3.630,f(1)＝10,所以f(x)=ex－1+4x－4在区间(0,1)上有零点.又因为f(x)=ex－1+4x－4是(－∞，＋∞）上的增函数，所以在区间(0,1)上有且只有一个零点.2(3)f(x)=ex－1+4x－4xy0－132112－1－2－3－4－242(4)解：作出函数的图象，如下：x0－80－1－55y24012043－60－40－20－4－3－2因为f(－4)＝－40,f(－3)＝150,f(－2)＝－20,f(2)＝－700,f(3)＝30,所以f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x在区间(－4,－3)、(－3，－2,)、(2,3)上各有一个零点.2(4)f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x...........小结与思考函数零点的定义等价关系函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断布置作业：习题3.1第2题