第五讲――循环码

第五讲循环码回顾（1）•为了简化好码搜索、便于分析及简化译码方法，在线性运算封闭约束的基础上，又加入了循环封闭的约束•当循环码用多项式表示时，可以很好的利用近世代数的知识，因此介绍了一些基础知识和概念回顾（2）•群：子群和陪集•环：子环、理想、主理想、多项式剩余类环•域的乘法结构：域的乘法群是循环群、元素的级、循环群的阶、生成元，域的本原元回顾（3）•域的加法结构：域的特征、元素的周期、素子域、基域与扩域•域的多项式结构：共轭根系、w的最小多项式、本原多项式、用最小多项式根表示的域、多项式的周期•剩余类线性结合代数，当以xn-1为模时，循环子空间与理想等价，生成多项式。有限域举例•构造一个4元环：整数环中的模4剩余类环•构造一个4元域：–模4运算没有逆–4=22，因此可以从GF(2)形成扩域–找一个GF(2)一的2次不可约多项式：f(x)=x2+x+1–找到用多项式表示的GF(22)的另两个元素：a=x，b=x+1。（即所有低于2次的多项式）–定义GF(2)上的模f(x)运算，得到乘法表，显然a与b互逆。–可以验证a和b是f(x)的两个根，构成共轭根系，显然它们不属于GF(2)，而属于扩域–由于乘法群的阶数22-1=3是一个素数，a和b的级都是3，因此它们都是本原元，f(x)是一个GF(2)上的本原多项式循环码的生成多项式•（回顾）以xn-1为模的剩余类代数中，循环子空间与理想等价。其生成元中次数最低的首一多项式为生成多项式•循环码的生成多项式必为xn-1的因子，同一个循环子空间可以有多个生成元，而所有这些生成元都应与xn-1有公因式，此公因式化为首一多项式即为其生成多项式。•反之，若g(x)|(xn-1)，则g(x)可以生成一个循环码，且当g(x)为n-k次多项式时，可生成(n,k)码互反多项式与零空间•由于xn-1可被g(x)整除，xn-1=g(x)h(x)•若h(x)=htxt+ht-1xt-1+…+h1x+h0，则h*(x)=h0xt+h1xt-1+…+ht-1x+ht为h(x)的互反多项式•g(x)和h*(x)均可生成长度为n的循环码，且互为零空间子码•对于循环码C1和C2，如果有C1C2，则称C1为C2的子码•若g1(x)生成码C1，g2(x)生成码C2，而g2(x)|g1(x)，即g1(x)可以被g2(x)整除，或g2(x)是g1(x)的一个因子，则C1C2，即C1为C2的子码系统循环码•根据生成多项式g(x)可以直接对k-1次信息多项式d(x)编码，即c(x)=d(x)g(x)modxn-1，当g(x)可以整除xn-1时，构成循环码。•系统码指的是在编码序列中包含所有信息位的编码。上述方法形成的循环码不是系统码。•系统循环码的生成：C(x)=d(x)xn-k+r(x)0modg(x)。即将信息序列左移n-k位，加上一个n-k-1次的校验多项式r(x)，其中的r(x)=-d(x)xn-kmodg(x)。用生成多项式的根定义循环码•研究表明，生成多项式有重根的码一般都要比无重根的码差，因此只考虑无重根的码，或构造无重根的多项式。•GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是n与q互素。因此对GF(2)而言，充要条件即为n为奇数。合法码字与生成多项式的根•若g(x)有r个不相等的根，则每个根必为每个码多项式的根，因此可将所有根代入是否为零来验证是否为码多项式。（此处的运算是在扩域GF(qm)上的）•每个根都可有一个最小多项式，而生成多项式则是所有根的最小多项式的最小公倍式•每个根都有级数ei，即，则码长为所有级的最小公倍数•同一共轭根系的根在验证码字时的效果相同，因此只需考虑其中一个即可1iei用指定的根求生成多项式•给定必含根，求生成多项式g(x)时，要先找出各个根的最小多项式（可计算或查表），然后求它们的公倍式。由于共轭根系的最小多项式相同，因此首先要找出必含根中包括哪几个共轭根系用根形成生成多项式举例•GF(211)中，为本原元，令=89，求以、2、3、4为根的二进制循环码。的级数为211-1=2047=8923，23=(89)23=1，因此的级为23，如果以为根，则它的共轭根系也为根：、2、4、8、16、32=9、18、36=13、26=3、6、12。例（续）•由于所要求的其它必含根2、3、4都包括在这个共轭根系中，它们有相同的最小多项式g(x)=m(x)=(x-)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)(x-9)(x-18)(x-13)(x-3)(x-6)(x-12)=x11+x9+x6+x5+x4+x2+1•这部是著名的Golay码，能纠3个错，是一种完备码。（上面的化简中要用到m()=0和=89）BCH码•用GF(qm)中的n级元素的-1个连续幂次为根的多项式生成的循环码称为BCH码。它的自由距不小于。如果根集中有本原元。则码长n=qm-1，称为本原BCH码RS码•GF(q)上的码长N=q-1的本原BCH码称RS码•RS码的符号域与根域相同•RS码生成多项式g(x)=(x-m0)(x-m0+1)…(x-m0+-2)，常取m0=1。其码距为。即生成的码为(n,k,d)=(q-1,q-,)。因此RS码被称为极大最小距离可分码。循环码的译码•循环码译码时，可将错误图案按循环分类，这样就可以对伴随式进行分类，类数就要比图案数少得多。例如，只将首1错误图案与相应的伴随式造表，通过多次移位，总能出现相应的伴随式，此时对首位纠正即可。