2014届高考数学一轮复习 第32讲《等比数列的概念及基本运算》热点针对课件 理

第32讲等比数列的概念及基本运算1．(原创)数列1,37,314,321，……中，398是这个数列的()A．第13项B．第14项C．第15项D．不在此数列中C解析：观察易知数列是首项为1，公式为37的等比数列，故由398＝1·(37)n－1，解得n＝15，故选C.2．(改编)等比数列{an}中，a1＝20，公比q＝15，则数列{an}的通项公式是()A．an＝4·(15)n＋1B．an＝4·(15)nC．an＝4·(15)n－1D．an＝4·(15)n－2D解析：由等比数列的通项公式得an＝20×(15)n－1＝4·(15)n－2，故选D.3．(改编)5＋2与5－2，两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.12C解析：G2＝(5＋2)(5－2)＝1，所以G＝±1，故选C.4．(改编)等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝2，a5＝32，则它的前5项和是()A．31B．32C．61D．62D解析：a5＝a1q4⇒2·q4＝32⇒q＝2⇒S5＝21－251－2＝62，故选D.5．(2012·广东惠州市第四次调研)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12C解析：因为S3＝18，所以a1＋a2＝a3q2(1＋q)＝12⇒2q2－q－1＝0⇒q＝1或q＝－12，故选C.一等比数列的基本运算【例1】在等比数列{an}中，已知a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40，求公比q，a1及n.解析：显然，公比q≠1，由已知可得a1q2－a1＝8①a1q5－a1q3＝216②a11－qn1－q＝40③，由②得(a1q2－a1)q3＝216，④将①代入④得8q3＝216，故q＝3，代入①得，a1＝1，将a1＝1，q＝3代入③得3n＝81，故n＝4，所以q＝3，a1＝1，n＝4.【拓展演练1】已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.解析：设数列{an}的公比为q.由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4，所以q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0，所以q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.二递推数列与等比数列的证明与判断【例2】(2012·甘肃省天水第四阶段段考)已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋(12)n＋1.(1)记bn＝2n·an－3，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：由an＋1＝13an＋(12)n＋1，得2n＋1an＋1－3＝23(2nan－3)，故数列{bn}是首项b1＝2a1－3＝－43，公比为23的等比数列．(2)由(1)知：bn＝2nan－3＝(－43)·(23)n－1，所以an＝3·(12)n－2·(13)n.【拓展演练2】(2012·广东省六校高三第二次联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝2，当n≥2时，有Sn＝3Sn－1＋2.(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)因为Sn＝3Sn－1＋2，所以Sn＋1＝3Sn－1＋2＋1，所以Sn＋1Sn－1＋1＝3.又因为S1＋1＝a1＋1＝3，所以{Sn＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得Sn＋1＝3×3n－1＝3n，所以Sn＝3n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2·3n－1.又当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以，数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.【例3】(2013·山东省济宁市期末检测)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＝32(1a3＋1a4)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.三等比数列综合解析：(1)由题意得a1a2＝2，a3a4＝32，即a21q＝2，a21q5＝32，解得a1＝1，q＝2.所以an＝2n－1.(2)因为bn＝4n－1＋(n－1)，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n－1＋(n－1)]＝(1＋41＋42＋…＋4n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝4n－13＋n－1n2.【拓展演练3】(2013·黄冈市期末考试)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝32Sn＋1(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{1an}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn12Sn＋2的n的值．解析：(1)由Sn＋1＝32Sn＋1，得当n≥2时，Sn＝32Sn－1＋1，所以Sn＋1－Sn＝32(Sn－Sn－1)，即an＋1＝32an，所以an＋1an＝32，又a1＝1，得S2＝32a1＋1＝a1＋a2，所以a2＝32，所以a2a1＝32，所以数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，所以an＝(32)n－1.(2)因为数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，所以数列{1an}是首项为1，公比为23的等比数列，所以Tn＝1－23n1－23＝3[1－(23)n]，又因为Sn＝2·(32)n－2，所以不等式Tn＜12Sn＋2，即得(23)n＞13，所以n＝1或n＝2.1.(2013·江西卷)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于()A．－24B．0C．12D．24A解析：由等比数列的性质得(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3.所以等比数列为－3，－6，－12，－24，…，故选A.2.(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋1＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmmC解析：由于数列{an}是公比为q的等比数列，那么cn＋1cn＝amn＋1amn＋2·…·amn＋mamn－1＋1amn－1＋2·…·amn－1＋m＝amn＋1amn＋2·…·amn＋mamn－m＋1amn－m＋2·…·amn＝(qm)m＝qm2，则数列{cn}为等比数列，公比为qm2，故C正确．3.(2012·全国新课标卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7D解析：设数列{an}的公比为q，由题意，a1q3＋a1q6＝2a1q4×a1q5＝a1q3×a1q6＝－8，解得a1＝1q3＝－2或a1＝－8q3＝－12.当a1＝1q3＝－2时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当a1＝－8q3＝－12时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×[1＋(－12)3]＝－7.综上，a1＋a10＝－7，故选D.4.(2012·浙江卷)设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝.解析：当q＝1时，由S2＝3a2＋2得a1＝－2，由S4＝3a4＋2得a1＝2，两者矛盾，舍去，则q≠1.S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，所以2a4＝3a2＋a3，所以2q2＝3＋q，所以q＝32或q＝－1(舍去)．故应填32.5.(2012·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝.解析：因为a25＝a10，所以(a1q4)2＝a1q9，所以a1＝q，所以an＝qn.因为2(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2an(1＋q2)＝5anq，所以2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或q＝12(舍去)，所以an＝2n.