高考物理：万有引力定律及其应用

高考物理：万有引力定律及其应用1微网构建2高考真题3热点聚焦微网构建高考真题1．(多选)(2018·全国Ⅰ，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度BC[解析]两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm1m2l2＝m1ω2r1①Gm1m2l2＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得Gm1＋m2l2＝ω2l，所以m1＋m2＝ω2l3G，质量之和可以估算。由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。质量之积和各自自转的角速度无法求解。2．(2018·全国Ⅱ，16)2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109kg/m3B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m3C[解析]脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有GMmr2＝mr4π2T2，又知M＝ρ·43πr3整理得密度ρ＝3πGT2＝3×3.146.67×10－11×5.19×10－32kg/m3≈5.2×1015kg/m3。3．(2018·全国Ⅲ，15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为()A．2∶1B．4∶1C．8∶1D．16∶1C[解析]由GMmr2＝mr4π2T2知，T2r3＝4π2GM，则两卫星T2PT2Q＝r3Pr3Q。因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1。4．(2018·北京，17)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证()A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60B[解析]若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足GMmr2＝ma，因此加速度a与距离r的二次方成反比。5．(多选)(2018·天津，6)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的()A．密度B．向心力的大小C．离地高度D．线速度的大小CD[解析]设人造地球卫星的周期为T，地球质量和半径分别为M、R，卫星的轨道半径为r，则在地球表面：GMmR2＝mg，GM＝gR2①对卫星：根据万有引力提供向心力，有GMmr2＝m2πT2r②联立①②式可求轨道半径r，而r＝R＋h，故可求得卫星离地高度。由v＝rω＝r2πT，从而可求得卫星的线速度。卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力Fn＝GMmr2也不能求出。故选项C、D正确。6．(2018·江苏，1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是()A．周期B．角速度C．线速度D．向心加速度A[解析]“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五r四。由万有引力提供向心力得GMmr2＝mr4π2T2＝mrω2＝mv2r＝ma。A对：T＝4π2r3GM∝r3，T五T四。B错：ω＝GMr3∝1r3，ω五ω四。C错：v＝GMr∝1r，v五v四。D错：a＝GMr2∝1r2，a五a四。7．(2018·北京，24(2))观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要途径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天眼”。FAST直径为500m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。a．设直径为100m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率P2；b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100m望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。[解析]a．地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，故望远镜接收的功率P∝πr2，r为望远镜半径，因此P2＝50021002P1＝25P1b．设地面上的望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100m的望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，则P0＝π50022P4πL2＝π10022P4πL20可得L＝5L0在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此，一个望远镜能观测到的此类天体数目N正比于以望远镜为球心、以最远观测距离L为半径的球体体积V。即N∝V，又考虑到V＝43πL3，则N＝L3L30N0＝125N0热点聚焦热点一天体质量及密度的估算1．牢记两个基本关系式(1)利用F万＝F向有GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma。(2)在星球表面附近有GMmR2＝mg星。2．明确三个常见误区(1)天体质量和密度的估算是指中心天体而非环绕天体的质量和密度的估算。(2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。(3)在考虑自转问题时，只有两极才有GMmR2＝mg。(2018·湖北省襄阳市高三下学期模拟)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为RA和RB。两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期。则()典例1DA．行星A的质量小于行星B的质量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度[解析]根据万有引力提供向心力得：GMmr2＝m4π2rT2，得：M＝4π2G·r3T2，根据题图可知，行星A的r3T2比行星B的大，所以行星A的质量大于行星B的质量，故A错误；根据题图可知，卫星在两颗行星表面运行的周期相同，行星密度ρ＝MV＝M43πR3＝4π2G·R3T2043πR3＝3πGT20，所以行星A的密度等于行星B的密度，故B错误；第一宇宙速度v＝2πRT0，由题图知，行星A的半径大于行星B的半径，卫星环绕行星表面运行的周期相同，则行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，故C错误；根据GMmr2＝ma得：a＝GMr2，当两行星的卫星轨道半径相同时，由于行星A的质量大于行星B的质量，则行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度，故D正确。方法总结估算中心天体质量和密度的两条思路(1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算由GMmR2＝mg得M＝gR2G，再由ρ＝MV，V＝43πR3得ρ＝3g4GπR。(2)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由GMmr2＝m4π2T2r得M＝4π2r3GT2，再结合ρ＝MV，V＝43πR3得ρ＝3πr3GT2R3――→天体表面ρ＝3πGT2。〔类题演练1〕(2018·陕西省榆林市高三下学期第四次模拟)2017年11月15日2时35分，我国在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭成功将“风云三号D”气象卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若已知地球的半径为R，“风云三号D”的轨道(视为圆)离地面的高度为h，环绕地球n周所用的时间为t，已知引力常量为G，则地球的平均密度为()A．3πn2R＋h3GtR3B．3πn2R＋h3Gt2R3C．3πnR＋h3Gt2R3D．3πnR3Gt2R＋h3B[解析]卫星的周期T＝tn；根据GMmh＋R2＝m4π2T2(h＋R)解得：M＝4π2n2R＋h3Gt2；地球的密度：ρ＝M43πR3＝3πn2R＋h3Gt2R3，故选B。热点二卫星运动参量的分析1．卫星运行参量与轨道半径的四个关系GMmr2＝ma―→a＝GMr2―→a∝1r2mv2r―→v＝GMr―→v∝1rmω2r―→ω＝GMr3―→ω∝1r3m4π2T2r―→T＝4π2r3GM―→T∝r3越高越慢2．两种卫星的特点(1)近地卫星①轨道半径等于地球半径②卫星所受万有引力F＝mg③卫星向心加速度a＝g(2)同步卫星①同步卫星绕地心匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。(2018·湖南省邵阳市高三下学期模拟)如图所示，地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和行星做匀速圆周运动的半径r1、r2之比为1∶4，不计地球和行星之间的相互影响，下列说法不正确的是()典例2A．行星绕太阳做圆周运动的周期为8年B．地球和行星的线速度大小之比为1∶2C．由图示位置开始计时，至少再经过87年，地球位于太阳和行星连线之间D．经过相同时间，地球、行星半径扫过的面积之比为1∶2B[解析]地球和行星均绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳做圆周运动的周期为T1＝1年，根据r31r32＝T21T22解得T2＝8年，A正确；根据GMmr2＝mv2r可知v1v2＝21，B错误；根据2πT1－2πT2＝2πt可得t＝87年，C正确；天体半径扫过的面积为S＝θ2π·πr2，而θ＝2πTt，联立解得S＝πtr2T，故经过相同时间，地球和行星半径扫过的面积之比为S1S2＝12，D正确。〔类题演练2〕(2018·北京市西城区高三下学期5月模拟)火星有两颗卫星，分别记作火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆形。已知火卫一的运行周期为7小时39分，火卫二的运行周期为30小时18分。由此可以判断，这两颗卫星()A．火卫一距火星表面较近且线速度较小B．火卫一距火星表面较近且向心加速度较大C．火卫二距火星表面较近且线速度较大D．火卫二距火星表面较近且角速度较小B[解析]根据万有引力提供圆周运动向心力有：GmMr2＝mv2r＝mrω2＝ma＝mr4π2T2得卫星周期T＝4π2r3GM，知半径大的周期大，半径小的周期小，所以可知火卫一的半径小于火卫二的半径，即火卫一距火星表面较近，选项CD错误；线速度v＝GMr，火卫一的线速度大，故A错误；向心加速度a＝GMr2，火卫一的加速度大，故B正确。故选B。航天器的变轨方式有多种，可由圆轨道变椭圆轨道，再变为圆轨道，也可由某一轨道平面变轨到另一轨道平面等。求解航天器变轨问题时的五点注意(1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。(2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。热点三卫星变轨与对接(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断。(4)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越