北邮通信原理PPT第8讲

十、部分响应系统根据奈氏第一准则设计的理想系统及余弦滚降系统：从上面四幅图中可以看到，频带利用率与“拖尾”衰减速度相互矛盾奈奎斯特第二准则：有控制地在某些码元的抽样时刻引入码间干扰，而在其余码元的抽样时刻无码间干扰，就能使频带利用率达到理论上的最大值，同时又可降低对定时精度的要求。这种信号波形称为部分响应波形，相应的系统称为部分响应系统()0sssTTHTsin()()Sa()ssstThttTtT假设有码元周期相邻的两个信号波形g1(t)和g2(t)：根据奈氏第二准则，有控制的引入码间干扰，所以可将g1(t)和g2(t)的波形相加：1sin()2()()2ssssTtTgtTtT2sin()2()()2ssssTtTgtTtT22sin()sin()22()()()22cos()441ssssssssssTTttTTgtTTttTTtTtT2cos,2()0,ssssTTTGT从g(t)的波形和表达式可以看出：1）g(t)的拖尾幅度随t按变化，即拖尾幅度与成反比，而g1(t)的拖尾幅度与成反比，表示g(t)的拖尾衰减快，衰减幅度大2）用g(t)作为传输波形时，码元间隔为Ts，虽然引入的了码间干扰，但这个“干扰”时确定的，所以码元速率仍为3）带宽为，所以频带利用率仍为理想情况下的2B/Hz的极限数值21t2t1t1sT12sT采用部分响应技术编码，其合成波可表示为：接收端对抽样值做减法即可得到发送端发送的码元序列如果判决时刻前一码元发生错误，会直接影响到下一码元的正确判决，出现一连串的错误，这叫做误码增值，也叫差错传播kkkaac11ˆˆˆkkkaca假设有一串信码序列101101001100，采用双极性二元码传输假设信道不理想出现误码，导致上面码元序列中的第9位出错成‘0’，那么：为了避免上述因相关编码引起的差错传播现象，通常在发送端先给信码加入预编码。加入规则：发送滤波器的输入码元序列为：接收端对接收到的序列做模2判决即可恢复出信息序列11kkkkkkbabbba1kkkbbc2mod]ˆ[ˆkkca101101001100011011012211222110110122112221kbkakc10010011101111010110100110001kcˆkaˆ1011012201222110110100010001kcˆkaˆ假设上面码元序列中的第9位出错成‘0’，那么：第一类部分响应系统：212()2cos()22cos()2()()0,0,ssTjsTjssssIsssTHeTTeTTHTHTT因此系统的冲激响应为：2sinsin()sin()()()()sssssIsssstttTTTTThtttTttTTT奈奎斯特第一准则1）在理论上存在理想的基带传输特性，即无码间干扰；2）在实际中可以采用升余弦滚降系统减少码间干扰；3）但在实际情况中存在设计误差和信道特性的变化，所以在抽样时刻或多或少总是存在码间干扰假设某等效系统H(ω)（发送滤波器、信道、接受滤波器）不满足奈氏第一准则，即存在码间干扰。然后在此等效系统后级联一个滤波器，其传递函数用T(ω)2,sisssiHTTTT此时整个系统的传输特性为：我们假设系统级联了这个滤波器后消除了码间干扰，即符合奈氏第一准则，那么下式应该成立：则：如果T(ω)是以为周期的函数，那么在周期内下式是成立的：()()'()THH2',sisssiHTTTTsT2),(ssTT2(),2ssssisTiTTTTTiHT222'siisssiiiHHTTTTT既然T(ω)是以为周期的函数，则我们可以用傅里叶级数对其进行表示可以看出T(ω)傅里叶级数的系数是由H(ω)决定至此，我们就找到了某个滤波器，其传输特性T(ω)具有1式的形式并且其系数由2式决定时，将其置于等效系统之后，就可以消除码间干扰，这种技术即为“均衡技术”sT2()sjnTnnTe1式()222ssjnTjnTsssnisTTTTedediHT2式1()()2sssTjnTTnnsTnnhedtnT九、信道均衡对T(ω)傅里叶级数的表示形式进行傅氏逆变换，则可求得其冲激响应：则可以按照冲击响应hT(t)的表达式设计出滤波器的形状:由无限多个按横向排列的延迟单元及抽头系数组成,其功能是将输入端抽样时刻上有码间干扰的响应波形变换成抽样时刻上无码间干扰的响应波形上述滤波器即为横向滤波器，也称均衡器，其特性完全有抽头系数决定。但在实际中不可能是无限长的，因此需要讨论在有限长的前提下横向滤波器的调整问题假设一有限长横向滤波器的单位冲激响应为e(t)，相应的频率特性为E(ω)，则分别为：横向滤波器的输出y(t)即为输入与其冲激响应的卷积：()()NisiNettiT()sNjiTiiNEe()()()()NisiNytxtetxtiT那么在抽样时刻kTs+t0就有：简写为：从上式可以看出均衡器的输出完全由抽头系数和输入x(t)确定，因此，当输入x(t)的波形确定时，均衡器的目标就是调整抽头系数使得除k=0点外的yk都等于零，则均衡问题集中于该如何调整抽头系数以达到目标000()()[()]NNsissisiNiNykTtxkTtiTxkiTtNkikiiNyx但对于有限长的横向滤波器来说可以调整系数使指定的yk（除k=0点外）为零，但很难使得所有的yk（除k=0点外）都为零例如，假设101101112101211,1,,4211,1,42311,0,,0,1644kikiixxxyxyyyyy抽头系数为其余为0当采用有限长横向滤波器时，码间干扰无法完全消除，此时均衡的效果采用如下两种准则进行衡量：1）峰值畸变，定义为：表示所有抽样时刻上得到的码间干扰最大可能值与k=0时刻的样值之比，则D值越小均衡效果越好2）均方畸变，定义为：其含义与峰值畸变类似001kkkDyy222001kkkyy以最小峰值畸变准则为基础分析均衡器的工作原理令D0表示均衡器输入峰值畸变：若xk是归一化的，且令x0=1，则上式变换为：同样设yk也是归一化的，且y0=1，则可得到下式：0001kkkDxx00kkkDx01NiiiNyx0001NiiiNixx则：将上式代入到中可以得到：001NiiiNixNkikiiNyx00000001()NNNkkikiiikikiiNiNiNiiiNNNkiikikikikiikiNiNiNiiiyxxxxxxxxxxxxx将上式代入到峰值畸变的定义式中，可得：对于上式：1）D值越小越好，为0时表示无码间干扰存在2）D是抽头系数（2N）的连续分段线性函数，这个函数有个极小值3）调整除α0外的2N个抽头系数，迫使D为零，即迫使输出的各个样值yk为零4）如果输入峰值畸变小于1，这个极小值恰好发生在对应的2N个抽头位置的输出样值同时为零时此即为“迫零调整”，也称“迫零均衡”000001()()NNkikiikkikiikkiNkiNkikiDxxxxxxxxy对于均衡器的抽头系数、输出及输入可以用向量表示：对于式，即均衡器的均衡过程就可以用矩阵运算表示：0zeros010zeros0NYN101NNNNNANNkikiiNyx0121210222121220122110NNNNNNNNxxxxxxxxXxxxxxxxxYXA例题：若输入其余为0，求迫零均衡器的抽头系数对于输入值均在（0，1）范围内，则可以认为输入xk是归一化的，则均衡器的输出应为：则抽头系数及输入为：利用矩阵运算联立方程组即可求得抽头系数10111,1,,44xxx010Y101A0121012101104111441014xxxXxxxxxxYXA假设二进制序列{am}通过非理想特性的信道，受加性噪声的干扰后，再经接收滤波器输出后的序列为{y(mTs)}令均衡器输出响应为，简写为：令均衡器输入响应为，简写为：用em表示均衡器第m个时刻的输出响应与原信号的误差，即：所以em也是一个时间序列。均方误差就可以定义为：ˆ()samTmyˆma()symTˆNmkmkkNayˆNmmmmkmkkNeaaay2[]mJEe22[]NmmkmkkNJEeEay若将J看作是第k个抽头系数αk的函数，可用J(αk)表示，则我们定义这个函数的梯度:J(αk)函数是一个关于αk的二次函数，那么它一定是一个下凸函数，即此函数一定有一个最小值。若令，即可求得αk取某个值β时，J(αk)取得最小值，即：第k个抽头系数调整为β时，均方误差最小，也就是说码间干扰最小。同理，我们也能够求得其他2N个抽头系数这里表示误差信号em与输入序列ym-k的互相关函数，即：则梯度可表示为：kkJ0k2ˆ[]222,1,2,,mmkmmmmmkkkkeaJEeEeEeEeykNmmkEey()eymmkRkEey2(),1,2,,keykJRkkN根据梯度为0的条件：即：2()0()0,1,2,,keyeykJRkRkkNˆ()()()0,1,2,,eymmkmmmkNmnmnmknNNmkmmknmnnNRkEeyEaayEayyEyayykN,1,2,,NmkmmknmnnNEyaEyykN()()(),1,2,,NNaynmnmknynNnNRkEyyRnkkN则可简写为矩阵形式：这个矩阵方程被称为维纳－霍夫方程，即为最小均方误差算法()(),1,2,,NaynynNRkRnkkN1ayyyayRRAARR()(1)(0)(1)()ayayayayayayRNRRRRNR101NNA(0)(1)(21)(2)(1)(0)(22)(21)(21)(22)(0)(1)(2)(21)(1)(0)yyyyyyyyyyyyyyyyyRRRNRNRRRNRNRN