2011届高三数学正余弦定理

第7课时正、余弦定理基础知识梳理(2)变形式：①a＝，b＝，c＝.1．正弦定理(1)基本形式：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R是△ABC外接圆的直径)．2RsinA2RsinB2RsinC②S△ABC＝＝12bcsinA＝12acsinB.12absinC基础知识梳理1.正弦定理的适用条件是什么？【思考·提示】(1)已知一边和两角解三角形；(2)已知两边和一边的对角解三角形；(3)已知两边与夹角求面积．基础知识梳理2．余弦定理(1)基本形式：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)变形式：cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab2.余弦定理的适用条件是什么？【思考·提示】(1)已知两边与夹角求第三边；(2)已知三边解三角形；(3)已知两边及一对角求第三边(利用方程思想)．基础知识梳理A．60°B．120°C．135°D．150°答案：B三基能力强化1．(2009年高考福建卷改编)已知钝角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()三基能力强化2．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．75°答案：C三基能力强化3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是()答案：CA.334B.1532C.1534D.1538三基能力强化4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝______.答案：5π6三基能力强化5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．答案：直角三角形课堂互动讲练已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据正弦定理和大边对大角定理进行判断．考点一正弦定理的应用课堂互动讲练例1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角解三角形，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.【思路点拨】已知三角形的两边及其中一边的对角，可利用正弦定理解三角形，但要注意解的判断．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°讨论如下：∵bsinA＝20·sin80°20·sin60°＝103，∴ab·sinA，∴本题无解．课堂互动讲练(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°又∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴本题有两解．由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；课堂互动讲练当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.【易误点评】在(2)中容易漏掉B＝120°的情形，对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意是一解、二解还是无解．课堂互动讲练互动探究若例1的要求不变，条件为(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝56，C＝60°.课堂互动讲练解：(1)a＝7，b＝8，ab，∴BA＝105°90°.∴本题无解．(2)b＝10，c＝56，bc，∴BC＝60°90°.∴本题有一解．∵sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．已知三边”解三角形主要运用余弦定理的推论．“已知两边和它们的夹角”解三角形可使用余弦定理求第三边，然后利用推论求出另一个角，最后利用A＋B＋C＝π求出第三个角．课堂互动讲练考点二余弦定理的应用课堂互动讲练例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．课堂互动讲练【思路点拨】由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．课堂互动讲练【解】(1)法一：由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c，得a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.课堂互动讲练法二：cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0∴2sinAcosB＋sinA＝0.∴cosB＝－12，∴B＝23π.课堂互动讲练(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π，代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3，∴S△ABC＝12acsinB＝334【名师点评】本题(1)中法一是利用余弦定理把角转化为边，把边转化为角．法二是利用正弦定理．课堂互动讲练判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．课堂互动讲练考点三三角形形状的判定课堂互动讲练例3在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．【思路点拨】利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．【解】法一：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.课堂互动讲练课堂互动讲练由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，即sin2AsinAsinB＝sin2BsinAsinB.∵0Aπ，0Bπ，∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．课堂互动讲练法二：同法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理得a2b·b2＋c2－a22bc＝b2a·a2＋c2－b22ac∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【思维总结】判断三角形形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；课堂互动讲练(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究例3中，若条件改为cos2A2＝b＋c2c，试判断△ABC的形状．解：法一：∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b＋c2c，即cosA＝bc.由正弦定理，得cosA＝sinBsinC，即cosAsinC＝sin(A＋C)，整理得sinAcosC＝0.课堂互动讲练∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C＝π2.故△ABC为直角三角形．法二：同法一得cosA＝bc.由余弦定理得b2＋c2－a22bc＝bc，整理得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．课堂互动讲练考点四求三角形的面积1．在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．课堂互动讲练2.利用面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB可以推导正弦定理(事实上，将上述等式中的各式都除以12abc，得sinCc＝sinAa＝sinBb，亦即asinA＝bsinB＝csinC)．课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【思路点拨】利用余弦定理和三角形面积公式列方程组解方程组得a，b诱导公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理将角化边列方程组求a，b，进而求三角形面积课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.2分联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.4分课堂互动讲练(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.6分所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233；8分课堂互动讲练当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.10分课堂互动讲练所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233.12分【易误点评】在第(2)题中容易犯约分的错误而不分cosA＝0和cosA≠0去讨论．课堂互动讲练高考检阅(本题满分12分)(2009年高考湖北卷)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．课堂互动讲练解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA3＝sinAsinC.2分∵sinA≠0，∴sinC＝32.4分∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.6分课堂互动讲练(2)法一：∵c＝7，C＝π3.由面积公式得12absinπ3＝332，即ab＝6.①8分由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②10分由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.12分课堂互动讲练法二：前同法一，联立①、②得a2＋b2－ab＝7，ab＝6.⇔a2＋b2＝13，ab＝6，8分消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.所以a＝2，b＝3，或a＝3，b＝2.故a＋b＝5.12分(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦或余弦定理，求出角B，C.规律方法总结1．解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asinA＝bsinB＝csinC，可求出角C，再求出b，c.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.规律方法总结(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由asinA＝csinC求出c，而通过asinA＝bsinB求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：规律方法总结A90°A＝90°A90°ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsin