2011届高三数学理大纲版创新设计一轮复习课件：2.5 函数的定义域和值域

掌握求函数定义域的常用方法第5课时函数的定义域和值域1．函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．2．常见基本初等函数的定义域(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为；(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为；(3)反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域为；(4)函数y＝ax(a0，a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为；(5)函数y＝logax(a0，a≠1)的定义域为；(6)函数y＝tanx的定义域为．RR{x|x≠0}{x︱x0}R{x︱x≠kπ＋，k∈Z}如果函数y＝f(x)的定义域为A，那么函数的值域为{y|y＝f(x)，x∈A}．3．函数的值域一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(maximumvalue)．思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y＝f(x)的最小值(minimumvalue)的定义吗？4．函数最大值与最小值的含义1．函数f(x)＝ln()的定义域为()A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)解析：要使函数有意义必须且只须由②得：(x－1)(x－2)≥0，解得x≤1，或x≥2；由③得(x＋4)(x－1)≤0，解得－4≤x≤1，因此不等式组的解集为[－4,0)∪(0,1)．答案：DA．[－1,1]B．(－1,1]C．[－1,1)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：由y＝得：x2＝≥0，解得：－1y≤1.答案：B2．函数y＝的值域为()解析：由题意f(x)∈[，3]，则F(x)＝f(x)＋≥2，当且仅当f(x)＝，即f(x)＝1时，取“＝”，又＋23＋，故F(x)的值域为[2，]．答案：B3．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是()4．当x∈(1,2)时，不等式＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是________．解析：当x∈(1,2)时，不等式＋mx＋40可化为：m－(x＋)，又函数f(x)＝－(x＋)在(1,2)上递增，则f(x)－5，则m≤－5.答案：(－∞，－5]5．(2009·湖南)若x＞0，则x＋的最小值为________．研究函数的图象和性质，要注意“定义域优先”的原则，即必须先考虑函数的定义域、求函数的定义域通常是通过解不等式(或不等式组)完成．【例1】求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝＋lg(cosx)；(3)y＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．(3)由ax－1＞0得ax＞1，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.∴a＞1时所求函数定义域为(0，＋∞)；0＜a＜1时所求函数定义域为(－∞，0)．A．(－4,0)∪(0,4)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－4，－2)∪(2,4)解析：f(x)＝lg的定义域为(－2,2)，由解得－4x－1或1x4.求函数值域的方法众多，涉及的知识面宽，难度较大，比较常见的方法有：(1)利用已知函数的图象求值域，如求y＝类型函数的值域；(2)判别式法，例如求y＝类型函数的值域；(3)换元法，例如求y＝ax＋b＋类型函数的值域；(4)利用重要不等式或函数的单调性，例如求y＝x＋类型函数的值域，还可利用数形结合的思想方法，借助求导数等手段求函数的值域．解答：(1)解法一：反函数法因为函数y＝的反函数为y＝，后者其定义域为{x|x≠，x∈R}，故函数的值域为{y|y≠，x∈R}．【例2】求下列函数的值域：解法二：分离常数法(2)解法一：配方法∴原函数的值域为[－，1)．由y＝，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1，又∵x∈R，∴必须Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0.∴－≤y≤1.∵y≠1，∴函数的值域为[－，1)．(3)解法一：单调性法解法二：判别式法解法二：换元法当且仅当即x=3时等号成立.当且仅当综上所述，原函数值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．解析：函数f(x)的定义域是(－∞，0]∪[4，＋∞)，函数f(x)在(－∞，0]上递减，在[4，＋∞)上递增，又f(0)＝4，f(4)＝2＋1，又f(0)f(4)，则f(x)的最小值是f(4)＝2＋1.答案：1＋2变式2.函数f(x)＝的最小值为________．在实际生活中的最优化问题往往可转化为求函数的最值问题；解决不等式恒成立求参数的取值范围，一般情况下要考虑解决相关函数的值域和最值，然后通过列不等式(或不等式组)进行求解．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【例3】已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)，(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即＞0，∴x2＋2x＋a＞0对于一切x∈[1，＋∞)恒成立；又x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1≥3＋a，由3＋a＞0得a＞－3.一、求函数的定义域1．由函数的解析式能够求出定义域，求出的定义域应该用集合或区间表示．2．求用解析式y＝f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题．【方法规律】3．求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．4．在函数的三要素中，定义域是基本要素，当对应法则和定义域确定之后，其值域相应被确定，研究函数性质必须从定义域出发．特别要重视函数定义域在解决方程、不等式等问题和在研究函数最值、奇偶性、周期性、单调性等问题中所起的作用．5．在变量换元和消元的过程中也要注意函数定义域的变化和限制．二、求函数的值域1．函数的值域是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则所确定，值域是函数值的集合．因此函数的值域要用集合或区间表示．2．函数的最大(小)值就是函数值域中的最大(小)值，与此函数图象的最高(低)点对应，但并非每个函数都有最大(小)值．求函数的最大值和最小值是函数中的一个重要问题．特别在解决实际问题时经常遇到．3．由于函数的值域受定义域的制约，因此不论采用什么方法求函数的值域，均应优先考虑定义域．由于最值是特殊的函数值，高考中求最值问题比求值域更为重要．4．求函数值域常用的方法有：(1)利用函数的单调性若y＝f(x)是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、f(b)分别是f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值，最大(小)值；(2)利用配方法将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式，用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的值是否能使完全平方式取得零值．(3)利用反函数定义域是原函数的值域；(4)利用函数有界性；(5)利用“判别式”法形如y＝(a、p至少有一个不为零)的函数，求其值域，可利用“Δ”法．(6)利用换元法；(7)利用“均值定理”；(8)几何法利用数形结合的思想方法，通过函数曲线图形间的关系，利用平面几何知识求值域．(9)导数法利用导数与函数的连续性求较复杂函数的极值和最值，然后求出值域．5．一些不等式恒成立问题是与函数的值域和最值有关的，同时也是高考的热点之一.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lg的定义域为A，函数g(x)＝的值域为B，设集合C＝(A∩B)∩N，其中N为自然数集，求集合C的真子集的个数.【考卷实录】【答题模板】……6分……9分∴C＝(A∩B)∩N＝{7,8,9,10,11}，∴集合C的真子集的个数为25－1＝31(个).……12分在考卷实录中，函数g(x)可化为g(x)＝(x≠2)，因此g(x)的值域中要除去在x＝2处的函数值，事实上函数和映射有可能出现“多对一”的情况，可以看出：＝7可解得：x＝4，或x＝2(舍去)，即g(4)＝7.【分析点评】