高中数学1.2.3空间几何体的直观图练习必修2

教育资源1基础巩固一、选择题1．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是()A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[答案]B[解析]选项正误理由A斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A错误B平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确C斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C错误D两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，故选项D错误[点评]斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比．2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()教育资源2[答案]A[解析]由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm[答案]C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.5．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()[答案]C[解析]C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为h2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的12.6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A．12＋22B．1＋22C．1＋2D．2＋2[答案]D[解析]如图所示，教育资源3∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC．∵∠A′B′C′＝45°，∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC．∴四边形ABCD是直角梯形．其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，∴S梯形ABCD＝2＋2.[规律总结](1)已知一个平面图形，求其直观图的面积．解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图，然后利用面积公式求解．(2)已知平面图形的直观图求原图形的面积．解决此类问题时，应根据所给的直观图确定原图形中线与线间的关系、长度、夹角，从而具体研究原图形的面积．由直观图还原为原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化，一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy＝90°，二是与O′y′平行的线段，在平面xOy中的长度是原来的2倍．二、填空题7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__________________，点M′的找法是__________________.[答案]M′(4,2)在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.[解析]在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.8．如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是__________________.[答案]10[解析]由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝AC2＋BC2＝10.教育资源4三、解答题9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．[解析]在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝12OD，梯形的高D′E′＝24，于是梯形A′B′C′D′的面积为12×(1＋2)×24＝328.10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图．[分析]这个几何体是一个简单的组合体，可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．[画法](1)画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．[方法提炼]画旋转体直观图的关键是画图的直观图，即作两个圆的直观图，平行于z轴的线段的长度保持不变．能力提升一、选择题1．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图教育资源5是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案]B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．8cmB．6cmC．2(1＋3)cmD．2(1＋2)cm[答案]A[解析]根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝22，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8.3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的()[答案]C[解析]按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．4．下图是水平放置的三角形的直观图，D为△ABC中BC的中点，则原图形中AB，AD，AC三条线段中()教育资源6A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD[答案]B[解析]因为AB∥y轴，BC∥x轴，根据斜二侧画法规则，在原图中应有AB⊥BC，所以△ABC为B＝90°的直角三角形，所以在AB，AD，AC三条线段中AC最长，AB最短．二、填空题5．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是__________________.[答案]16[解析]由图易知△AOB中，底边OB＝4，又∵底边OB的高为8，∴面积S＝12×4×8＝16.6．如右图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为__________________.[答案]22[解析]因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如右图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝22.教育资源7三、解答题7．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．[分析]由三视图画出空间几何体的直观图应先由三视图确定出空间几何体，再由斜二测画法画出其直观图．[解析]由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O和上底面⊙O′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O与⊙O′.③取OO′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．8．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．[解析](1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点，在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．教育资源8(4)成图．连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A，B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示．