2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第41讲 合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．1由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新．归纳推理的结论．2由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比的结论不一定为真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越．类比推理可靠．　13.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理，它是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误演绎推理的结论．2()()()“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：ⅰ大前提—已知的一般原理；ⅱ小前提—所研究的特殊情况；ⅲ结论—根据一般原理，对特殊情况做出判断．1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⃘平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】直线平行于平面，则直线与平面内的直线可以平行，也可以异面．所以大前提“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线”是错误的，从而导致结论错误．2.已知a，b，c∈R，则下列推论中正确的是()A．ab⇒am2bm2B.acbc⇒abC．a3b3，ab0⇒1a1bD．a2b2，ab0⇒1a1b【解析】A中注意m＝0时不成立，B中当c0时不成立，D中注意a，b的符号二者可同正同负，只需|a||b|即可．3.已知数列{an}的第一项a1＝2，且an＋1＝an1＋an(n＝1,2,3，…)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝1nB．an＝nn＋1C．an＝22n－1D．an＝12n－1【解析】因为1an＋1＝an＋1an，所以1an＋1＝1an＋1，所以{1an}是以1a1＝12为首项，以d＝1为公差的等差数列，故1an＝2n－12，则an＝22n－1.4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)c＝a·c＋b·c”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”；④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．以上类比得到的正确结论的序号是①②.(写出所有正确的结论的序号)【解析】由向量的数量积的定义知，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝b·a，而c≠0，a·c＝b·c是两个数相等，与向量a＝b无关．5.观察下列不等式：11×122(23)3，11×122×133(24)6，11×122×133×144(25)10，…归纳得出一个更一般的结论：对n∈N*，n1，有11×122×133×…×1nn(2n＋1)nn＋12.【解析】依题意，不等式的左边为11×122×133×…×1nn，右边式子的底数为2n＋1.当n＝2时，其指数为3；当n＝3时，其指数为6，依次类推可得指数为nn＋12.故填11×122×133×…×1nn(2n＋1)nn＋12.一归纳推理及应用【例1】已知函数f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为__________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为____________；(2)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有______颗珠宝，则前n件首饰所用珠宝总数为______颗．(结果用n表示)【解析】f2(x)＝f1[f1(x)]＝11－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2[f2(x)]＝x1－2x1－2x1－2x＝x1－22x，….由此猜想fn(x)＝x1－2n－1x(n∈N*)．(2)设第i件首饰的珠宝数为ai，则珠宝数构成了一个数列{an}，并设其前n项和为Sn，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，an＝an－1＋5＋4(n－2)，所以an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n，所以Sn＝2(12＋22＋32＋…＋n2)－(1＋2＋3＋…＋n)＝2×nn＋12n＋16－nn＋12＝nn＋16(4n＋2－3)＝nn＋14n－16.【点评】归纳常以观察开始，观察资料，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．观察下列两式：①sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°＝34；②sin215°＋cos245°＋sin15°·cos45°＝34.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论．素材1【解析】推广结论：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝34sin2α＋[cos(α＋30°)＋12sinα]2＝34sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°＋12sinα)2＝34sin2α＋34cos2α＝34.二类比推理及应用【例2】填表：直角三角形与直角四面体的性质类比【解析】在四面体SABC中，三个平面SAB、平面SBC、平面SAC两两垂直，点S在底面上的射影为O，则有类似结论：(1)点O在△ABC内．(2)在△ABC、△ABS、△SBC、△SAC中，△ABC的面积最大．(3)S2△SAB＝S△OAB·S△ABC，S2△SAC＝S△OAC·S△ABC，S2△SBC＝S△OBC·S△ABC.(4)1SO2＝1SA2＋1SB2＋1SC2.以上结论的证明如下：(1)由题设SA，SB，SC两两垂直，则三角形SBC为直角三角形，则斜边BC边上的高SD在三角形SBC内，即点D在BC上，连接AD，则BC⊥平面SAD，则平面ABC⊥平面ASD，过点S在面SAD内作SO⊥AD于O，则SO⊥平面ABC，即点S在平面ABC的射影为O；由于三角形SAD为直角三角形，则斜边AD上的高的垂足O在线段AD上，即O在三角形ABC内．(2)由于S△SBC＝12BC·SD，S△ABC＝12BC·AD.因为三角形SAD为直角三角形，则斜边ADSD，故S△ABCS△SBC.同理可证：S△ABCS△SBA，S△ABCS△SAC.(3)S2△SBC＝14BC2·SD2，而在直角三角形ASD中，SD2＝AD·DO，所以S2△SBC＝14BC2·SD2＝14BC2·AD·DO＝12BC·AD×12BC·DO，因此，S2△SBC＝S△OBC·S△ABC.同理可证S2△SAC＝S△OAC·S△ABC，S2△SAB＝S△OAB·S△ABC.(4)在直角三角形SAD中，由于SO⊥AD于O，则1SO2＝1SA2＋1SD2.在直角三角形SBC中，由于SD⊥BC于D，则1SD2＝1SB2＋1SC2，因此1SO2＝1SA2＋1SB2＋1SC2.【点评】类比推理的关键是找到合适的类比对象，平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到空间立体几何中，得到类似结论，一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：(2011·淮南模拟)请用类比推理完成下表：素材2【分析】①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．【解析】经分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．三演绎推理及应用【例3】已知元素为实数的集合S满足下列条件：①1、0∉S；②若a∈S，则11－a∈S.(1)若{2，－2}S，求元素个数最少的集合S；(2)若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并证明你的猜测正确．【解析】(1)2∈S⇒11－2＝－1∈S⇒11－－1＝12∈S⇒11－12＝2∈S；－2∈S⇒11－－2＝13∈S⇒11－13＝32∈S⇒11－32＝－2∈S.所以使{2，－2}S的元素个数最少的集合S为{2，－1，12，－2，13，32}．(2)非空有限集S的元素个数是3的倍数．证明如下：设a∈S，且a≠0,1，则a∈S⇒11－a∈S⇒11－1a＝a－1a∈S⇒11－a－1a＝a∈S，(*)由于a＝11－a⇔a2－a＋1＝0(a≠1)，但a2－a＋1＝0无实数根，故a≠11－a，同理11－a≠a－1a，a－1a≠a，所以{a，11－a，a－1a}⊆S.若存在b∈S，而b∉{a，11－a，a－1a}，则{b，11－b，b－1b}⊆S且{a，11－a，a－1a}∩{b，11－b，b－1b}＝∅.若{b，11－b，b－1b}中有元素属于{a，11－a，a－1a}．则利用前述的(*)式可知b∈{a，11－a，a－1a}，于是{a，11－a，a－1a，b，11－b，b－1b}⊆S.上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步后中止．所以S中元素个数为3的倍数．【点评】信息迁移问题也称信息给予题，构成形式是设计一个陌生的数学情境，要求学生在阅读理解的基础上运用所学知识和方法灵活地进行迁移，进而解决问题的题型．由于信息迁移题能有效地考查学生的自学水平和思维能力，因而一直受到广大学生、中学老师的重视，全国各地的高考题中，涌现出一批信息迁移试题，预计下一步会加强对学生迁移能力的考查，并且有可能与其他知识联系，综合考查．已知函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c＜b＜1)．若函数f(x)的一个零点为1，且函数y＝f(x)＋1有零点．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m是函数y＝f(x)＋1的一个零点，判断f(m－4)的正负并加以证明．素材3【解析】(1)证明：因为f(x)的一个零点为1，所以f(1)＝0，即1＋2b＋c＝0，即b＝－c＋12.又因为c＜b＜1，于是c＜－c＋12＜1，得－3＜c＜－13.函数y＝f(x)＋1有零点，即方程x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0，解得c≥3或c≤－1.又－3c－13，所以－3＜c≤－1.由b＝－c＋12知b≥0.(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，因为m是函数y＝f(x)＋1的一个零点，所以f(m)＝－1.从而f(m)＝(m－c)(m－1)0，所以c＜m＜1，所以c－4＜m－4＜－3＜c.所以f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0，即f(m－4)的符号为正．备选例题(2010·山东烟台)诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有贡献的人，每年