福建省2013届高考数学一轮总复习 第49讲 空间中的垂直关系课件 文 新课标

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．1_____.2__________.3___.1llllllbabla定义定义：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记作①特别提醒：若已知，则垂直于平面内的所有直线，即“线面线线”．判定定理：一条直线与一个平面内的②直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示为：，，，③性质定理：垂直于同一平面的两条直线④用符号．直线与平面表示：垂直__________.b，⑤1_______2.2定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是⑥，就说这两个平面互相垂直．画法：记作．平面与平面垂直______.__________._____34_____.alaall若一个平面过另一个平面的⑦，则这两个平面垂直．符号表示：⑧两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面⑨用符号表示为：，，，⑩归纳拓展：两个平面、都垂直于平面，则与可能平行也面面垂直的判定定理面面垂直的性质可定理能相交，若：，则.l//lAaa①；②两条相交；③；④互相平行【；⑤要点指南】；⑥直角；⑦垂线；⑧；⑨垂直；⑩1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.(2010·山东卷)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A选项平行直线的平行投影也可能是平行的；B选项中的两个平面也可以相交；C选项的两个平面也可以相交，故选D.3.关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n∥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是(D)A．①②B．③④C．①④D．②③4.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】由题中知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.5.P是△ABC所在平面α外一点，O是P点在平面α上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的内心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的外心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心．【解析】在空间几何体中，由内心、外心、垂心的性质可知．一直线和平面垂直的判定和性质【例1】如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.【分析】可考虑用线面垂直的判定定理来证明．又因为CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD.【点评】证明线面垂直，常用证法有两种：一是利用面面垂直的性质，二是利用线面垂直的判定定理，即证明直线a与平面α内的两条相交直线都垂直．已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，当矩形ABCD满足什么条件时，有PC⊥BD?素材1【解析】若PC⊥BD.又PA⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，即矩形ABCD的对角线互相垂直．所以矩形ABCD为正方形，即当矩形ABCD为正方形时，PC⊥BD.二平面和平面垂直的判定和性质【例2】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.【分析】用线面平行的判定定理证明(1)，可连接AC1，利用中位线证明线线平行．要证面面垂直需要证线面垂直或线线垂直．【证明】(1)连接AC1交A1C于点E，连结DE.因为AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点，又D是AB的中点，所以在△ABC1中，DE∥BC1.又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，所以BC1∥平面CA1D.(2)因为AC＝BC，D为AB的中点，所以△ABC中，AB⊥CD.又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面AA1B1B.又CD⊂平面CA1D，所以平面CA1D⊥平面AA1B1B.【点评】面面垂直的证明综合性强，需要一连串的转化，而这些转化中，线线垂直是基础，线面垂直是核心，解决此类问题时要善于挖掘题目中隐含着的关于线线垂直、线面垂直的条件．已知α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，求证：a⊥α.素材2【证明】如图所示，设α∩β＝b，α∩γ＝c，过平面α内一点P作PA⊥b于点A，作PB⊥c于点B.因为α⊥β，所以PA⊥β.又β∩γ＝a，所以PA⊥a.同理可证PB⊥a.因为PB∩PA＝P，PA⊂α，PB⊂α，所以a⊥α.三垂直中的探究问题【例3】如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3.过点A作AE⊥CD，垂足为E，现将△AED沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CED；(2)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．【解析】(1)证明：由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，AE∩EC＝E，DE⊥平面ABCE，所以DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，所以BC⊥平面CED.(2)不妨设AR＝x，连接DR，BR，取DB的中点Q，连接CQ，RQ.因为折叠后，CD＝BC＝2，所以CQ⊥BD，因为平面BDR⊥平面DCB，所以CQ⊥平面BDR.又RQ⊂平面BDR，所以CQ⊥RQ.在Rt△RCQ中，RC＝1＋2－x2，CQ＝2，所以RQ＝－1＋2－x2.在△BAR中，BR＝1＋x2，在△DER中，DR＝3＋2－x2，又BD＝22，cos∠RBQ＝BR2＋BQ2－RQ22BR·BQ＝BR2＋BD2－RD22BR·BD，所以BR2＋2BQ2－2RQ2＝BD2－RD2，解得x＝12.所以，当线段AE上的点R使得3AR＝RE时，平面BDR⊥平面DCB.【点评】对于第(2)问这种探索性问题，一般是先假设结论成立，再在结论成立的基础上，利用有关知识进行分析．备选例题如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．(1)证明：AB⊥MN；(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连结AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.【证明】(1)因为N为PC的中点，所以ON∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.所以ON⊥AB.又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.(2)PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以PA＝AD＝BC.连结MC，由Rt△BCM≌RtAPM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.1213251..4aamnmnAllmlnaalaala线面垂直的定义：与内任何直线都垂直；、，判定定理：；，判定定理：，；面面平行的性质：，；证明线面垂直的方法面面垂直的性质：，，，12233//..ababababaa平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：，；线面垂直的性质：，判定定理：．证明线线垂直的方法．证明面面垂直，的方法判定判定性质性质线线垂直线面垂直面面垂直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．4．垂直关系的转化5面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂．线即可．