高考数学优化方案第1章§1.2

§1.2含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考1.2含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法双基研习·面对高考不等式a0a＝0a0|x|a－axa_______∅|x|axa或x－a{x∈R|x≠0}_____双基研习·面对高考1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集∅基础梳理R(2)|ax＋b|c(c0)或|ax＋b|c(c0)的解法①|ax＋b|c⇔___________________；②|ax＋b|c⇔－cax＋bc.(3)|f(x)|g(x)或|f(x)|g(x)的解法①|f(x)|g(x)⇔______________________________；②|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)，且f(x)、g(x)有意义．ax＋bc或ax＋b－c－g(x)f(x)g(x)且f(x)、g(x)有意义2．一元二次不等式的解集思考感悟1．|x|及|x－a|表示的几何意义是什么？提示：|x|表示数轴上的点x到原点的距离，|x－a|表示数轴上的点x到a点的距离．2．不等式|f(x)||g(x)|怎样求解？提示：在f(x)、g(x)都有意义的前提下|f(x)||g(x)|⇔f2(x)g2(x)．课前热身1．(教材例4改编)不等式－x2＋2x－3≥0的解集为()A．∅B．RC．{x|x≥3或x≤－1}D．{x|－3≤x≤1}答案：A2．不等式|x－2|x＋20的解集是()A．{x|x－2}B．{x|－2x2或x2}C．{x|x－2或x1}D．以上均不正确答案：B3．若0a1，则不等式(x－a)(x－1a)0的解为()A．ax1aB．x1a或xaC.1axaD．x1a或xa答案：B4．不等式|2x－6|≤4的解集为________．答案：{x|1≤x≤5}5．(原创题)不等式|x2＋2x＋3|m的解集为R，则m的范围为________．答案：m2考点探究·挑战高考绝对值不等式的解法解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号，转化为一般不等式求解，去绝对值常用的方法是定义法和平方法．根据教材1.4中的例1、例2的解答方法，求解．考点突破解不等式：(1)3|2x－3|5；(2)|x－1|＋|x＋2|5.【思路分析】对于第(1)题，可从以下角度考虑：由于原不等式等价于|2x－3|3且|2x－3|5，因此可先分别解出两个绝对值不等式的解集，然后求其交集．对于第(2)题可利用零点分段法和绝对值的几何意义来解决．例1【解】(1)法一：原不等式等价于|2x－3|3，①|2x－3|5.②由①得2x－33，或2x－3－3，解得x3，或x0.由②得－52x－35，解得－1x4.如图所示．所以原不等式的解集为{x|－1x0，或3x4}．法二：3|2x－3|5⇔32|x－32|52，32|x－32|52的几何意义为数轴上点x到点32的距离大于32且小于52，如图所示：则原不等式的解集为(－1,0)∪(3,4)．(2)法一：分别求|x－1|、|x＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x－2，－2≤x≤1，x1.当x－2时，原不等式即1－x－2－x5，解得－3x－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x5，因为35恒成立，所以－2≤x≤1时原不等式成立；当x1时，原不等式即x－1＋2＋x5，解得1x2.综上，原不等式的解集为{x|－3x2}．法二：不等式|x－1|＋|x＋2|5的几何意义为数轴上到－2，1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，则原不等式的解集为{x|－3x2}．【领悟归纳】这两个小题的解法中，法二用了绝对值的几何意义，比法一简单．第(1)题也可直接转化为：32x－35或－52x－3－3两个不等式的并集．总之把绝对值不等式转化为不含绝对值不等式．一元二次不等式的解法一元二次不等式的形式为ax2＋bx＋c0(0)(a≠0)．一元二次不等式的解题步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)看判别式Δ的符号；(3)求出相应一元二次方程的根(若根存在)；(4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结合不等号定解集．有时通过因式分解，直接求出方程的根．例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.(a0)【思路分析】因式分解→求根→比较根的大小→写出解集．【解】原不等式可化为(x－1)(ax－1)0.对应方程(x－1)(ax－1)＝0的根为x1＝1，x2＝1a.①当0a1时，1a1，∴1x1a.②当a＝1时，1a＝1，原不等式可化为(x－1)20，此不等式无解．③当a1时，1a1，∴1ax1.综上所述：当0a1时，解集为{x|1x1a}．当a＝1时，解集为∅.当a1时，解集为{x|1ax1}．【领悟归纳】方程根的大小影响了不等式的解集形式，故以根的大小入手进行分类讨论，即一元二次不等式解集的边界数就是对应方程的根．解：当a0时，方程(x－1)(ax－1)＝0根仍为x1＝1，x2＝1a.不等式变为(x－1)(－ax＋1)0，其解集为{x|x1或x1a}．互动探究若将例2中的条件改为“a0”，求解这个不等式．这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数的图象结合起来，来解决问题．即一元二次方程根的分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题来求解．一元二次方程与不等式、二次函数的关系若1＜x≤2，不等式ax2－2ax－1＜0恒成立，求实数a的取值范围．【思路分析】不等式的二次项系数为待定参数a，故要先分a＝0和a≠0两大类进行讨论，然后结合数形结合法求解．【解】法一：从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2]上恒成立，即f(x)＝ax2－2ax－1在x∈(1,2]时图象恒在x轴下方．当a＝0时，不等式变为－1＜0恒成立．当a≠0时，设f(x)＝ax2－2ax－1，对称轴x＝1，结合二次函数图象，例3当a＞0时，只需f1≤0f2＜0可得a＞0，当a＜0时，只需f(1)≤0，得－1≤a0，综上可得a≥－1.法二：因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2]上的最大值恒小于0，从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题．设f(x)＝ax2－2ax－1，当a＝0时，f(x)＝－1，满足不等式f(x)＜0；当a＞0时，f(x)对称轴为x＝1，结合二次函数图象．(1,2]为f(x)的增区间，∴f(x)max＝f(2)＝－1＜0成立，∴a＞0.当a＜0时，f(x)对称轴为x＝1，区间(1,2]为f(x)的减区间，∴f(x)max＝f(1)＝－a－1≤0，∴a≥－1，∴－1≤a＜0，综上所述a≥－1.【思维总结】关于一元二次不等式恒成立问题，可以利用数形结合法，根据对称轴和区间的位置关系，列出不等式求解；也可转化为函数在某区间上的最大值恒小于零或最小值恒大于零的问题，通过求最值解决.方法感悟方法技巧1．绝对值的转化方法，就是依据绝对值概念和等价不等式，将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解．也可结合绝对值的几何意义去绝对值号，含两个以上绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号．如例1.2．解一元二次不等式时，应当考虑相应的一元二次方程，二次函数的图象根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小．如例2.失误防范1．在二次项系数没有转化为正号的情况下解不等式，在写解集时易出现把不等号的方向写反的错误．如课前热身12．在二次项系数含有参数时，不要直观认为就是二次不等式，易丢掉对系数为0的讨论，如例3.3．分类讨论结束后，要把各种情况进行综合归纳，如例3.4．对于|f(x)|，其取值为[0，＋∞)不能认为(0，＋∞)．如课前热身2.考向瞭望·把脉高考绝对值不等式与一元二次不等式是高中数学的基本内容，是高考命题的重点．试题的命制常以这两类不等式为载体，既考查不等式的解法，又考查对集合概念和运算的熟练掌握程度.2010年高考中，绝大多数省份试题以选择题、填空题形式出现，也有少数省份的高考题以解答题的某一步出现．考情分析如2010年上海22题，第(1)问是解绝对值不等式，一元二次不等式出现在与导数结合，研究函数性质，如单调性、极值等，这类问题较多．预测2012年的高考题对绝对值不等式和一元二次不等式仍坚持如上述内容的考查．(本题满分12分)(2010年大纲全国卷Ⅱ文)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．规范解答例【解】(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，∴f′(x)＝3(x－2＋3)(x－2－3)，2分令f′(x)0，即(x－2＋3)(x－2－3)0，得x2＋3或x2－3.∴f(x)在(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)上为增函数．…4分令f′(x)0得2－3x2＋3，∴f(x)在(2－3，2＋3)上为减函数.6分(2)f′(x)＝3(x2－2ax＋1)＝3[(x－a)2＋1－a2]f(x)在(2,3)中至少有一个极值点，等价于f′(x)＝0在(2,3)中至少有一个根.8分若只有一个根，则f′(2)·f′(3)0，即(4－4a＋1)(9－6a＋1)0，a.10分若f′(x)＝0有两根在(2,3)中则有2a3f′20f′30fa0，即2a34－4a＋109－6a＋101－a20，此时无解．综上可知，a的取值范围为(54，53)12分【名师点评】本题从外观上看，是利用导数研究函数的单调区间与极值，求导只是解题的入手点，而中间过程实质是解不等式，问题(1)是解一元二次不等式，问题(2)第一种情况是解关于a的一元二次不等式，第二种情况是求解关于a的一元一次不等式组，故本题的中心内容是转化为不等式求解，本题难度属于中档题，只要解不等式的基本过程掌握好，本题很容易成功．名师预测解析：选D.原不等式可化为|x＋1||x－1|∴x2＋2x＋1x2－2x＋1.∴x0.1．不等式x＋1x－11的解集为()A．{x|0x1}∪{x|x1}B．{x|0x1}C．{x|－1x0}D．{x|x0}2．若不等式|ax＋2|6的解集为(－1,2)，则实数a等于()A．8B．2C．－4D．－8解析：选C.∵不等式|ax＋2|6的解集为(－1,2)，∴它等价于方程|ax＋2|＝6的根为－1和2.把根代入即可确定参数a的值．3．若a1，不等式x2＋(a＋1a)x＋1≥0在(－∞，λ]上恒成立．则实数λ的取值范围为________．解析：∵(x＋a)(x＋1a)≥0，即x≤－a或x≥－1a，即x∈(－∞，－a]时，恒有x2＋(a＋1a)x＋1≥0∴(－∞，λ]⊆(－∞，－a]，∴λ≤－a.答案：(－∞，－a]4．不等式(x－1)|x2－2x－3|≥0的解集是_____．解析：原不等式等价为x－1≥0①|x2－2x－3|≥0②由①得x≥1，②成立当x＝－1时，x2－2x－3＝0，适合不等式．∴x≥1或x＝－1.答案：{x|x≥1或x＝－1}．