高考数学公开课――祖��原理

gèng祖暅，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动期大约在504－526年。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献。祖暅主要是修补编辑了祖冲之的《缀术》。他十分巧妙的推导了球的体积公式。祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”，“幂”即面积，“势”即高。意思是：两个等高的几何体，如果与底面等距离的截面面积总相等。那么这两个几何体的体积相等。西方把这个原理叫做“卡发雷利原理”，是在他于1635年所出版的《连续不可分几何》中所提出的。1刘徽刘徽首先证明了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟合方盖的体积，球体积公式也就唾手可得。在一立方体内作两个互相垂直的内切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切。如果用同一个水平面去截它们，就得到一个圆（球的截面），和它的外切正方形（牟合方盖的截面）。中国数学史刘徽虽然没有推证出球体积公式，但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。牟合方盖祖冲之（公元429-500）刘徽（生于公元250左右）中国数学史（盈数）（肭数）1415927.31415926.3祖冲之（公元429-500，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元462年创制了一部历法《大明历》，这在当时是最先进的历法.也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间”。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中，《隋书﹒律历志》说：字景烁，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，自小对数学有浓厚的兴趣，经常与父亲一起钻研数学问题。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献。祖暅修补、编辑了祖冲之的《缀术》。他运用祖暅原理十分巧妙的推导了球的体积公式。他在数学上的成就，除了父亲对他的影响，和他自己后天的努力是分不开的。祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”，“幂”即面积，“势”即高。意思是：两个等高的几何体，如果与底面等距离的截面面积总相等。那么这两个几何体的体积相等。“祖暅原理”在17世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，但比祖暅晚一千余年。大约公元五世纪，我国古代数学家祖暅在实践的基础上，总结出一个重要的体积计算原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。解释棱柱、圆柱的截面有什么性质？设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．平行于底面的截面与底面相等．VSh柱柱13VSh锥锥图1用祖暅原理证明球体积公式我们回忆一下祖暅原理（请一位学生叙述原理的内容），求球的体积关键是找一个满足原理又可计算体积的几何体．这个几何体的形状应是怎样的？先观察与半径为R的半球底面平行，且与底面距离为l的截面面积S=πR2-πl2．而πR2-πl2可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意截面不变，故底面半径为R的圆柱满足；小圆半径要等于l，轴截面为等腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖暅原理可以这样推导：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面α上（图2-59），因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间．用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面如果截面与平面α的距离为l，那么圆面半径22rRr，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为l（因为△1O'OB是等腰三角形）．因此S圆=πr2=π（R2-l2），S圆环=πR2-πl2=π（R2-l2），∴S圆=S圆环．根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即223112233VRRRRR球，34.3VR球∴因此，我们得到下面定理：定理如果球的半径是R，那么它的体积是34.3VR球注意：34SR球表面积∵，13VSR球球表面积，其形式与锥体的体积公式相似．例1有一种空心钢球，重142g，测得外径等于5.0cm，求它的内径（钢的比重是7.9g/cm3．）解：设空心钢球的内径为2xcm，那么钢球的重量为334547.9[()]142.323x3351423()11.3.27.94x∴∴x≈2.24，2x≈4.5（cm）．答：空心钢球的内径为4.5厘米．师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理6也叫做祖暅原理．祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实．在古代我国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的．（三）棱柱、圆柱的体积师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积．师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？生：平行于底面的截面与底面相等．师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．由公理5的推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理：牟合方盖开立圆术的分解公理6夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．下图表示，夹在平行平面α、β之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面α、β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等，那么它们的体积一定相等．师：公理6的条件有三个：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间；（2）两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截；（3）两个截面的面积总相等．三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等．谢谢~