2-1线性方程组的求解

1第一节线性方程组的求解一、克拉默法则二、线性方程组的消元法三、小结第二章线性方程组2一、克拉默法则下面是行列式在一类特殊的线性方程组中的应用利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n，且系数行列式不为零的线性方程组3定理2.1.1(克拉默法则)如果线性方程组11112211211222221122(2.1.1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式0A0A0A,则方程组(2.1.1)有唯一解jjBxA(j=1,2,…,n).(2.1.2)4其中111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaBaabaa(j=1,2,…,n).若线性方程组(2.1.1)无解或有两个以上不同的解,则0A齐次与非齐次线性方程组的概念常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组推论2.1.15对于n个未知量n个方程的齐次线性方程组111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(2.1.5)(i=1,2,…,n)为齐次线性方程组(2.1.5)的解,将其称为该方程组的零解.0ix齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.6若齐次线性方程组(2.1.5)的系数行列式，推论2.1.2则齐次线性方程组(2.1.5)只有零解.0A推论2.1.3若齐次线性方程组(2.1.5)有非零解,则其系数行列式.0A7例1解线性方程组12312312303408950xxxxxxxxx解因该方程组的系数行列式为11131450895A由推论2.1.2,该方程组仅有零解0ix)3,2,1(i8例2解方程组1312312321241832xxxxxxxx解方程组的系数行列式为20124120183A110114120283B22112110123B320124120182B依克拉默法则知，该方程组的唯一解为1231231,0,1BBBxxxAAA又9例3设齐次线性方程组123123123230347020xxxxxxxxkx有非零解,试求常数的值.有非零解,试求常数的值.有非零解,试求常数k的值.解由定理2.1.2知该方程组系数行列式必为零,即21334712Ak132323rrrr0332332027327312kkkkk530kk=3方程组有非零解.10二、线性方程组的消元解法解方程组，就是要通过一系列能使方程组保持同解的变换，把原方程组化为容易看出是不是有解并在有解时容易求出解的线性方程组什么样的变换能使变换前后的方程组满足同解要求?同解变换能把方程组化为什么样的简单形式?11例4解线性方程组622452413231321321xxxxxxxx解首先消去第二，三两个方程中含x1的项.为此，将第一个方程的-2倍加到第二个方程，第一个方程的-1倍加到第三个方程，得到同解方程组125241323232321xxxxxxx然后将第二个方程的-4倍加到第三个方程，65132332321xxxxxx2451323232321xxxxxxx1835132332321xxxxxx交换后两个方程,再将第三个方程等号两边同乘以1/3，得到最后求得方程组的解为x3=-6,x2=-1,x1=913在例4的解题过程中使用了如下的三种变换用一个非零数乘以某个方程将一个方程的k倍加到另一个方程上交换两个方程的位置上述三种变换称为线性方程组的初等变换14用消元法解方程组实质上是对方程组的系数和常数项进行运算，因此为了简化运算过程的表达形式，可以只把线性方程组的系数按顺序写成一个矩形的数表，方程组（2.1.6）的系数可写成15对方程组作初等变换就相当于对增广矩阵作如下的行变换111212122212nnmmmnaaaaaaaaammnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211用一个非零数乘以某一行将一行的k倍加到另一行上交换两行的位置系数矩阵增广矩阵以上三种变换称为矩阵的行初等变换16例4的消元求解过程可以用增广矩阵的行初等变换来表示为213121312131,425404120115202601150016AB21019200181009010101010101001600160016BC求得解为其中B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵x3=-6,x2=-1,x1=917例5解线性方程组123451234523451234513230226354332xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对增广矩阵作行初等变换,将其化为行最简形矩阵2141(3)(5)111111111111321130012263,012263012263543312012263rrrrA183224212(1)(1)(1)111111101152012263012263000000000000000000000000rrrrrrr原方程组同解的线性方程组为13452345522263xxxxxxxx即13452345253226xxxxxxxx19线性方程组的解写成下面的形式11232123314253253226xkkkxkkkxkxkxk其中k1,k2,k3为任意常数上述解的表达式通常称为原线性方程组的通解20例6求解线性方程组1312312322026xxxxxxxx解对方程组的增广矩阵作行初等变换22131321(1)2(2)(1)101210121012,121002220111211601120003rrrrrrrA上式中最后一个矩阵的第三行所表示的方程是一个矛盾方程故原方程组无解21非齐次线性方程组解的判别定理设线性方程组(2.1.6)的系数矩阵A的秩为r,AX=β的增广矩阵通过行初等变换一定可以化为1,1112,122,11100010001,00000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccdCd(2.1.11)22对应（2.1.11）的方程组CX=γ为11,111122,1122,111000rnnrrnnrrrrrnnrrrxckckdxckckdxckckdd方程组CX=γ与原方程组(2.1.6)AX=β是同解方程组只讨论同解方程组CX=γ解的情况23方程组CX=γ在有解的情况下(1)当r=n时，方程组有唯一解x1=d1,x2=d2,…,xn=dn(2)当rn时,方程组有无穷多个解.把每行第一个非零元所对应的未知量作为基本未知量.其余作为自由未知量方程组AX=β有解(即CX=γ有解)的充要条件是dr+1=024解得111,111222,112,1111rnnrrnnrrrrrrnnrrnnrxdckckxdckckxdckckxkxk其中12,,,nrkkk为任意常数25n元线性方程组AX有解的充分必要条件是定理2.1.3,RARA设,RARAr当r=n时，原方程组有唯一解当rn原方程组有无穷多解下面通过例子说明这个定理的应用26例7t为何值时,下列方程组无解;有唯一解;有无穷多解？并在方程组有解时求出解1232312341333(1)0xxxtxxxxtx解对方程组的增广矩阵作行初等变换273114111411,03303313100121rrAtttt23231411012100(1)(3)3rtrrrtttt12124141114111053,011101110111000000000000rrrrA(1)当t=-3时28当t=-3时，原方程组有无穷多解，同解方程组为令自由未知量x3=k得原方程组的解为其中k为任意常数1323531xxxx13233351xxxxxk291411,01310004A141110473,0121012100(1)100(1)1tAtttt(2)t=1时原方程组无解(3)t-3且t1时12347213;1;111ttxxxttt＝原方程组有唯一解30齐次线性方程组的解求解方法与非齐次线性方程组相同111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(2.1.13)定理2.1.4设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r,那么(1)当r=n时,方程组AX=0仅有零解(2)当rn时,方程组AX=0有无穷多解31推论2.1.13若齐次线性方程组中,方程的个数m小于未知量个数n，则必有无穷多解定理2.1.5设A为n阶矩阵,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A|=032试确定常数k的值,使3元齐次线性方程组例8123123123230347020xxxxxxxxbx有非零解,并求出它的所有非零解对方程组的系数矩阵作行初等变换,将其化为行阶梯形矩阵解法一332113313221312123473470273122130332rrrrrrbbAbbb33223()()521212027302731550030022rrrbbbbBbb当b=-3时，R(A)=23原方程组有非零解34当b=-3时1221(1)1(1)2123101101022011011000000000rrrrB与原方程组同解的线性方程组为132300xxxx因此，原方程组的所有非零解为123xkxkxk其中k为任意常数352133475(3)012Abb该题的方程个数与未知