第四章 VNM效用函数与风险升水

Chap4.VNM（冯诺依曼-摩根斯坦）效用函数与风险升水§1.不确定性与选择公理§2.冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数§3.风险度量、确定性等值与风险升水本章要点§1.不确定性与选择公理一、不确定性经济活动中始终存在着决策的不确定性。不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在《风险、不确定和利润》（1916）第一次区分了经济活动中不确定性与风险，不确定性是客观的，指行动的结果总是被置于某种概率之下，而风险主要是指主观上的认识能力。不确定性可以用数学语言进行描述。主要用数学期望函数和方差。彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具有收益的不确定性。可以用式子表示。如它会产生两种结果。(pA；，C)1122(;,)(;,)LpACLpAC二、单赌和复赌单赌：设有n种可能的事件结果，则单赌集合可写成：12(,,)nAaaa，11221{,,|0,1}nsnniiiGpapapapp，也可以简写为：1211(,0,0,(1))(,(1))snnnGpaaapapapa，复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。高产20%正常40%低产40%雨量大20%0.040.080.080.20雨量中50%0.100.200.200.50雨量小30%0.060.120.120.30奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为赌局本身。【完备性与传递性公理】对两种不同的结果，消费者的偏好为：三、不确定条件下的选择公理,,ABBAAB,,ABBCAC【连续性公理】差异很大的两个不确定结果的某种加权结果会等同于某个确定的中间结果。,,(01):ABBCPP则存在概率使得()(1)PAPCB【独立性公理】假定消费者A与B之间无差异，设C为任一个另外的结果。如果一张彩票L1会以概率P与(1-P)带来结果A与C，另一张彩票L2以概率P与(1-P)带来结果B与C，那么，消费者会认为这两张彩票L1与L2无差异。,,:(1)(1)ABCACBPAPCPBPC则,,:(1)(1)ABCACBPAPCPBPC则例：设A=获1000元,B=获10元,C=死亡。对大多数人，1000元10元死亡。设10元为一确定的状态。则必定存在概率0P1，使得：1000(1)10PP元死亡元【不相等公理】1111,(,,)(1)ABLPABPAPB2222(,,)(1)LPABPAPB当且仅当：21PP消费者严格偏好于L2。21LL§2.冯诺依曼—摩根斯坦效用函数一、VNM效用函数定义1.期望结果1结果2概率收入概率收入佣金制0.5020000.501000固定薪水制0.9915100.01510推销员的收入0.520000.510001500工作1的期望收入元元=元0.9915100.015101500工作2的期望收入元元=元2.期望效用(,,)(1)gpABpAPB单赌则对应的期望效用函数为：()()(1)()ugpuAPuB11122234(,,),(,,)gpAAgpAA单赌则消费者更偏好于g1，当且仅当111122324()()(1)()()(1)()ugpuAPuApuAPuA期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。1122(,,,)snngpapapa单赌1()()nsiiiugpua期望效用函数或VNM效用函数二、期望效用函数12(,,,)()?niAaaaua构造期望效用函数的关键是121,(,(1))niiiinaaaaaPaPa若可看作不外是最好结果与最差结果的某种组合一样好.()iiuaP即用消费者心里那个ai使与某个单赌等价的最好事件发生的概率来定义u(ai)。例：设A=(a1,a2,a3)=(10元,4元,-2元)。当a1发生的概率P为多少时，消费者认为a1(i=1,2,3)与(P,a1,a3)无差异?如果消费回答：10(1(10),0(2))(0.6(10),0.4(2))(0(10),1(2))元元元4元元元-2元元元因此，可定义：123(10)()1(4)()0.6(2)()0uuauuauua比较单赌格局：12(0.24,0.810)(0.07(2),0.034,0.910)gg1()0.2(4)0.8(10)0.20.60.810.92uguu2()0.07(2)0.03(4)0.9(10)0.0700.030.60.910.918uguuu12()()ugug消费者偏好于1()ug单赌的期望效用：()(1,2)iugi单赌的期望收入：1()0.240.8108.8Eg元2()0.07(2)0.0340.9108.98Eg元12112()(),,()().EgEggugug但消费者选择了因为§3.风险度量、确定性等值和风险升水一、风险度量事件A的风险度量：12{,,,}inaAaaa1122|()||()||()|nnaEAPaEAPaEAP结果1离差结果2离差工作120005001000500工作2151010510990实际收入与期望收入的离差工作1的平均离差：0.55000.5500500元元=元工作2的平均离差：0.99100.0199019.8元元=元平均离差=P1×结果1的离差+P2×结果2的离差通常风险以方差或标准差（方差的平方根）来度量：221[()]niiiipxEx二、对风险的主观态度效用函数的凹性与经济含义效用函数的凹性：'''()0,()0uxux含义：表示通常情况下人们是“风险规避”的。1111(())(,,;,,)()()()nnnnuEWuxxuxuxuW2x1x()EW()ux(())uEW()uW风险规避者Wu15()ux1310xu161020()千元EACD11(10)(20)1322uu11102015221111(1020)(10)(20)2222uuu1111(())(,,;,,)()()()nnnnuEWuxxuxuxuW风险偏好者15()uxux2010EDCAO(千元)(())()uEWuW(())()uEWuW()ux风险中立者x201510OAE()DCu定义().uVNM为效用函数对于单赌1122(,,,)nngPaPaPa(())()uEgug(())()uEgug(())()uEgug111()(),(),(())[]nnniiiiiiiiiugPuaEgPauEguPa1,().niiiPa显然是一个确定的结果在g中风险规避在g中风险偏好在g中风险中立绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增加或损失。'''()()()uwRwuw风险规避程度()()0uRw为凸,()()0uRw为线性,()()0uRw为凹,风险偏好风险中立风险规避验证效用函数的凹性，()0Rw002'''00002'''000'0002'''0000''000,()0()()()()()()2()()()()()2()()()()2()()()()()()'()ahEhEuwhuwRhEuwhEuwhuwuwEhuwEhuwuwuwRuwRuwEhkuwRuwuwkuwkuwRkRwuw高高高1()ux2()uxxxo风险规避程度的测量(2)全部风险规避度量：这是从决策者具有不同收入水平上的风险进行对比说明风险的大小的，在这方面普拉特通过两个具有不同效用函数的决策者所面临的风险大小给出了解释，有时又被称为普拉特定理。对此有三个基本的条件：对于所有的都有。即决策2在任何一个财富水平上的绝对风险系数均大于决策者1。存在一个递增的凹函数，使得在所有的上均有。即是的一个凹变换，或者说，比更凹。对于所有的即决策者2的风险溢价均大有决策者1。xR21()()rxrx()x21()(())uxux2()ux1()ux2()ux1()ux21,()()xRxRx相对风险的度量这是评价财富水平按照一定的百分比变化中的风险度量。称为阿罗——普拉特相对风险度量系数。'''()()()uxxxux三、确定性等值、风险升水及其应用12(),()uwRuwS112212()()()ugPuwPuwPRPS121,()2PPugT若为期望效用水平1211()(())22wwEguEgCT为收入无风险确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即CE满足：()()uCEug风险升水：是收入P，当一个完全确定收入减去P产生的效用仍等于不确定条件下期望的效用水平，即：。或单赌g含的风险相当于使一个确定的收入E(g)减少了P。(())()uEgPug()PEgCE或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g)转化为两个不确定的收入w1和w2时，消费者由于面临风险付出的代价。w()Eg1w2wCEO()uw2()uw1()uw(())uEg1122()()uwuwT()uwSCTRp例：假定。令单赌中赢h和亏h各有50%的概率，设消费者原来的资产水平为w。求CE与风险水平P。()ln()uww0().:wEg设原来资产若参赌00;whwh赢得输得00(0.5(),0.5())gwhwh0012001222011ln()ln()ln()ln()22ln[()()]ln()CEgwhwhwhwhwh122200()()CEwhwEg122200()()0PEgCEwwh例：一种彩票赢得900元的概率为0.2；若输，只获得100元，概率为0.8。若消费者的效用函数形式为，问该消费者愿意出多少钱购买这张彩票？风险升水是多少？uw消费者的出价应按CE给出，即()0.2(900)0.8(100),0.29000.8100uCEuuCE即196,CE他对彩票的最高出价为196元.()()0.29000.810026026019664PEgCEEgP元风险金R与风险升水P的关系例：某消费者的效用函数为：。w0=9000，h=8000（火灾后损失大部分财产）,发生火灾的概率α=0.05。求消费者愿意支付的保险价格R与保险公司在消费者支付R时的利润。0.5uw1/21/200.51/21/2()0.9590000.0510000(90000)0.9590000.0510000uwRR5900,0.05800004000Rh但保险公司付赔额度为4000元，保险费为5900元，保险公司的利润为1900元。例：设风险规避的个人初始财产为w0，其效用函数具有VNM性质。如购买汽车保险，假定遇上车祸，财产损失为L；若遇上车祸的概率为，他会购买多少保险？(0,1)购买保险的数额取决于对每一元保险值收取多少价格。保险的公平价格指使保险公司期望利润为零的价格。(1)(1)0保险的公平价格（1元价值的保险的收费）等于车祸发生的概率。投保人的目标是使期望利润最大化。设x为购买的保险额。00''00''00()(1)()(1)()(1)()0()()uwxLxuwxuwxLxuwxuwxLxuwx效用函数严格为凹，单调，于是边际效用相等意味着等式两