数学破题36计 自制(1-20)

第5计才子开门风情万种［引例］试比较以下三数的大小：22ln，33ln，55ln［解一］建构函数法设f(x)=xxlnf＇(x)=21xlnxe≤0f(x)为减函数22ln33ln55ln［旁白］才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.［评语］学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.［解二］作差比较法22ln-33ln=98ln6169ln8ln323ln22ln3022ln-55ln=2532ln1011025ln32ln525ln22ln50［旁白］才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.［奇解］（做商）22ln×3ln3=9ln8ln122ln×5ln5=25ln32ln133ln22ln55ln［自评］标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.［旁白］这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解［正解］f(x)=xxlnf＇(x)=21xlnxe0(x≥3)33ln44ln55ln33ln22ln55ln［评语］因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.【例1】已知向量a=(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=3，则b=()A．(23，21)B．(21,23)C.(43341，)D．（1，0）【特解】由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.【别解】因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项.又a·b=3,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.【另解】设b=(cosα,sinα),则a·b=(3,1)·(cosα,sinα)=3cosα+sinα=3sin(60°+α)=23在区间（0，π）上解α得：α=60°.故b=(2321，).●对应训练1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)0}等于（）A.{x|x3或-3x0}B.{x|0x3或x-3}C.{x|x3或x-3}D.{x|0x3或-3x0}55ln22ln33ln2.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是.(用数字作答)1.分析由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.解析一由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)0的解集为{x|0x3或-3x0},选D.(1)(2)解析二由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)0的解集关于原点对称,故先解0)(0xfx借助图象得0x3,由对称性得x·f(x)0的解集为{x|0x3或-3x0},故选D.解析三借助图（1）或图（2）,取特殊值x=2,知适合不等式x·f(x)0,排除A、C;又奇·奇=偶,∴x·f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.【点评】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.2.【分析】排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.【通解】考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有A55种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A33种，故满足条件的排法种数共有3355AA=20.【正解】5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类:第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C14=8种方法.第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C24=12种方法.【评说】先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.【另解】5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.第1步考虑元素x到位，有5种可能；第2步考虑元素y到位，有4种可能；第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能.由乘法原理，方法总数为5×4=20种.【评说】“另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.【别解】设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有xP3=P5x=35PP=5×4=20.【评说】别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6计勇士开门手脚咚咚【例1】已知x,y∈4,4,a∈R，且axx,02sin3,0cossin43ayyy则cos(x+2y)的值为（）A.0B.1C.2D.3【思考】代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？解：由条件得：02)2sin()2(02sin33ayyaxx∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根2,2t.设f(t)=t3+sint-2a.当t∈2,2时，tytysin,231均为增函数，而-2a为常数.2,2)(tf是上的单调增函数.∵f(x)=f(-2y)=0.∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos(x+2y)=1.选B.【点评】想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.【例2】已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1)，则|2a-b|的最大、小值是（）A.42,0B.4,22C.16,0D.4,0【解答】如图，点A(cosθ,sinθ)在圆122yx上运动时，延OA到C，使||OC=||2OA=2a,求||OBOC的最值，显然2||||OBOC.当1OC与OB反向时有最大值4,2OC与OB同向时有最小值0.∴选D.【点评】本例选自04·湖南卷6（文），解题思想很简单，谁不知道“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢，例2题解图为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当△BOC不复存在时，才有可能取得.【例3】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0，且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是（）A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【解答】设F(x)=f(x)g(x),当x0时，∵F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0.∴F(x)在R-上为增函数.∵F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)·g(x).=-F(x).故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.∴F(x)在R上亦为增函数.已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.构造如图的F（x）的图象，可知F(x)0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).【点评】本例选自04·湖南卷12题,是小题中的压轴题，显然，不懂得导数基本知识对待本例是无能为力的，高中例3题解图代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.●对应训练1.下列命题正确的是()A.若{an}和{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极值一定不存在B.若{an}和{bn}的极限都存在，则{an+bn}的极限一定存在C.若{an+bn}的极限不存在，则{an}和{bn}的极限都一定不存在D.若{an+bn}的极限存在，则{an}和{bn}的极限要么都存在，要么都不存在2.过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（）A.0k5B.-5k0C.0k13D.0k53.若(1-2x)9展开式的第3项为288，则nnxxx111lim2的值是A.2B.1C.21D.521.D(正反推证）若{an+bn}:1,1,1,1,…的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,极限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,极限又都存在，故DA、B、C.2.A（数形并用）如图，以C(-2,0)为圆心，r=3为半径的⊙C交x、y正半轴于A（1,0）,B(0,5),而M(-1,0)在⊙C内部，当N∈BA时，显然，kMNkMA=0;kMNkMB=5.故知,k∈(0,5),选A.3.AT3=C29(-2x)2=36(2x)2=288，∴22x=8，x=23,x1=32∈(0,1).∴数列{nx1}是首项与公比均为32的无穷递缩等比数列.原式=32132=2.选A.第7计模特开门见一知众数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），特值的共性.选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，【例1】如果0a1,那么下列不等式中正确的是（）A.(1-a)31(1-a)21B.log(1-a)(1+a)0C.(1-a)3(1+a)2D.(1-a)1+a1【思考】本题关键点在a,我们一个特殊数值，作为本题的模特.令a=21,各选项为：A．21312121B.023log21C．232321D.12123显然，有且仅有AA.【点评】本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.你还需要讲“道理”吗？xy21log为减函数，log21231log210,Bxy)21(也是减函数，12121023,DC也不对；只有A是对的.【例2】已知定义在实数集R上的函数y=f(x)恒不为零，同时满足:f(x+y)=f(x)·f(y),且当x0时，f(x)1,那么当x0时，一定有（）A．f(x)-1B.-1f(x)0C.f(x)1D.0f(x)1【思考1】本题是一个抽象函数,破题之处在于取特殊函数,一点动众.设f(x)=2x,显然满足f(x+y)=f(x)·f(y)(即2x+y=2x·2y),且满足x0时，f(x)1,根据指数函数的性质，当x0时，02x1.即0f(x)1.选D.【点评】题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y=2x,这就是我们这题的模特,结果是轻而