4.1.1-利用函数性质判定方程解的存在

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.让学生了解函数的零点与方程根的联系；3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用；4.培养学生动手操作的能力。二、教学重点、难点重点：零点的概念及存在性的判定；难点：零点的确定。三、复习引入例1:判断方程x2-x-6=0解的存在。分析：考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线容易看出，f(0)=-60,f(4)0,f(-4)0由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0)内也至少有点X2,使得f(X2)=0,而方程至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点抽象概括y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点,即f(x)=0的解。12999.com若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点注意：1、这里所说“若f(a)f(b)0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；2、若f(a)f(b)0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内有唯一实数解；3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)0,f(4)0，f(-2)f(4)0；5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/x，有f(-1)xf(1)0但没有零点。f(x)=x2-x-6x2-x-68642-2-4-6-8-10-5510fx=x2-x-6AB四、知识应用例2:已知f(x)=3x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么?解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,因为f(-1)=3-1-(-1)2=-2/30,f(0)=30-(0)2=-10,所以f(-1)f(0)0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解练习：求函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点？例3判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（-∞,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于５，一个小于２。练习：关于x的方程2x2-3x+2m=0有两个实根均在[-1，1]内，求m的取值范围。五、课后作业p116第2,3题六、课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．