高中数学(人教版)选修2-3教学课件：1.2.2《组合》PPT课件

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A甲、乙；甲、丙；乙、丙3情境创设从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合的概念有什么共同点与不同点？概念讲解组合定义:?组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:aB与Ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC233C246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三个元素的）1个组合，对应着6个排列你发现了什么?PPC333434344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于，我们可以按照以下步骤进行组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数．mnC第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．mnA根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：!121mmnnnnAACmmmnmn这里m,n是自然数，且mn，这个公式叫做组合数公式．概念讲解组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAmmmmnmnCAA!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：从n个不同元中取出m个元素的排列数例1、计算：⑴47C⑵710C例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析32nnCA（3）已知：，求n的值⑴35(2)120例3.11CmnmCmnmn:求证,!!:）（！证明mnmnCmn)!1()!1(!111mnmnmnmmnmCmn)!1)((!)!1(1mnmnnmm.!)(!!Cmnmnmn1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.●思悟小结（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序（1）有序与无序的区别2.理解组合数的的定义与公式作业P27习题1.22、9(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm（1）!!()!mnnCmnm（2）mnC3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有种；组合应用【练习】1.用m、n表示2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共有种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有种方法.例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：5100C（1）597C（2）23973CC（3）5510097CC（4）413223973973973CCCCCC，或（5）504132973973973CCCCCC23973CC（6）1.有10道试题，从中选答8道，共有种选法、又若其中6道必答，共有不同的种选法.2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？（1）无任何限制条件；（2）正、副班长必须入选；（3）正、副班长只有一人入选；（4）正、副班长都不入选；（5）正、副班长至少有一人入选；（5）正、副班长至多有一人入选；练习：小结：至多至少问题常用分类的或排除法.例2从数字1,2,5,7中任选两个练习有不同的英文书5本,不同的中文书7本,从中选出两本书.(1)若其中一本为中文书,一本为英文书.问共有多少种选法?(1)可以得到多少个不同的和?(2)可以得到多少个不同的差?(2)若不限条件,问共有多少种选法?6个12个35种66种例4有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其它5人既会划左舷,又会划右舷,现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?例3在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?NOMABCDEFGHI·········练习如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点C1,C2,C3,C4,C5,C6,AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4,问(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多少个四边形?ABD1D2D3D4﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒C1C2C3C4C5C696979999CC练习（1）求的值组合数的性质mnmnnCC（1）11mmmnnnCCC（2）221717xxCC（2）求满足的x值11122mmmmnnnnCCCC（3）求证：①11111mmmmnnnnCCCC②129999CCC（4）求的值1617005或25111.排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.2.理解组合数的性质3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.●思悟小结P27习题1.210、11组合与组合数通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用（一）组合数的公式及其性质：(1)(2)(1)!mmnnnmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm组合数性质1：mnmnnCC11mmmnnnCCC2：01nnnCC特别地：______,4A3A2918nnn则已知7__________3337410ACC0________,231010xCCxx则1,或5_______9910098999799CCC5050练习一129999CCC（5）求的值（1）（2）（3）（4）5111231112!3!4!!!nnn求证：例题解读!(1)!(1)(1)!nnnn证明：11(1)(1)!!!nnnn因为左边=111111112!2!3!3!4!(1)!!nn注意阶乘的变形形式：11!n=左边，评注：(1)!(1)!nnn所以等式成立练习精选：证明下列等式：1)!1(!!33!22!1nnn（1）11122110mmnmmnnnnCCCCC（2）例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；例题解读：解：（1）根据分步计数原理得到：22264290CCC种例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理所以．222642CCC33A可得：22236423CCCxA2226423315CCCxA例題解读：因此，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有mmmmnmnmmnnCCCA种方法例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．12365360CCC（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．12336533360CCCA例题解读：例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”的分配情况，有种方法；22264290CCC②“1、2、3型”的分配情况，有种方法；12336533360CCCA③“1、1、4型”，有种方法，436390CA所以，一共有90+360+90＝540种方法．例题解读：元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，既有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的