新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.4.1角平分线

制作人靳军强新北师大版八年级上册数学第一章三角形的证明学习目标1、掌握角平分线的定理以及它的逆定理，并能正确应用；2、能够用尺规作图作已知角的平分线，并能表达作图的作法；3、弄清定理的条件和结论，充分运用综合分析法进行推理证明。1、角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？你能证明吗？2、性质定理的逆命题是什么？是真命题吗？你能证明吗？（请写出已知、求证、证明）自学教材P33，完成相关问题：定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PEOCB1A2PDE证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．在△PDO和△PEO中，∵∠DOP＝∠EOP（已知），∠PDO＝∠PEO（已证），PO＝PO（公共边），∴△PDO≌△PEO（AAS）．∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．1、定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离_____。老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,∵OC是∠AOB的平分线,,,(已知)∴PD=PE().OCB1A2PDE几何语言反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）．在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵QD＝QE（已知），QO＝QO（公共边），∴△QDO≌△QEO（HL）．∴∠QOD＝QOE（全等三角形的对应角相等）．∴点Q在∠AOB的平分线上．2、逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离的点,在这个角的上.如图,∵PD=PE,,(已知),∴点P在∠AOB的平分线上().老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.OCB1A2PDE几何语言4、已知:如图,在△ABE中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.3、请完成P34随堂练习题1（用符号语言表示结论及其理由）自学教材P34，完成相关问题：1、动手用尺规画出一个角的平分线；2、说明为什么是角平分线的理由。如何作角的平分线？已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=.2.分别以点D和E为圆心,以大于__长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C..3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.DE1、用尺规作角的平分线.3、完成P37联系拓广第4题2、完成P35随堂练习第2题过关测试一、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图（5），已知：OM是角POQ的平分线，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△QOM=6cm2，OP=3cm，则MQ=__________cm.6.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如下图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①、②与③第6题第7题8、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝600，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于_____．（选做）OCPBAD9、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.（选做）第8题第9题参考答案一、1.=2、=3、14、905、46、B7、D8、29、证明：在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE，∴DF=DE∴D在∠A的平分线上，∴AD平分∠BAC.预习：作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？