有限元法数学基础概要

第三章有限元法数学基础有限元法理论及数值分析2本章内容微分方程的等效积分形式1等效积分的“弱”形式2加权余量法3泛函与变分原理433.1等效积分偏微分方程的数值解法有限差分法:求解域几何形状规则以与原偏微分方程及其定解条件等效积分提法为基础变分方法：若原方程有某些特定性质，归结为泛函的驻值问题。加权余量法：适用于所有的偏微分方程，不管是否存在进行变分的泛函有限单元法注意：变分法和加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。43.1等效积分问题的提出1工程中的许多问题，通常以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出。1122()(,)()(,)()(,)0in,AufxtAufxtAufxtu为未知函数1122()(,)()(,)()(,)0on,BugxtBugxtBuBxt是的边界且，u应满足边界条件:53.1等效积分问题的提出1()0()0xAufxBug由于以上微分方程在和中每一点都成立，因此有：上述方程的简化形式：111222()(()())0TvAufdvAufvAufd111222()(()())0TvBugdvBugvBugd63.1等效积分问题的提出1则表明积分形式与微分方程的定解问题等价这里为任意函数向量，12vvv12vv=v并且v和为与微分方程个数相等的函数。对任意上述积分式均成立。v73.1等效积分问题的提出1111222()(()())0TvAufdvAufvAufd111222()(()())0TvBugdvBugvBugd()()0TvAufdvBugd83.1等效积分微分方程的等效积分形式2()0()0xAufxBug微分方程的等效积分形式()()0TvAufdvBugd93.2等效积分的弱形式将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等效积分弱形式。因为分步积分后，算子导数阶次降低，对待求变量的连续性降低，就起到了弱化作用。()()0TvAufdvBugd()()()()0TTCvDudEvFud将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程解的结果，而是弱化对解方程得要求，是弱化待求变量的连续性，是以提高权函数的连续性为代价的。103.2等效积分的弱形式例题：梁弯曲问题440(0,)dwEJqxldx4400(0,)ldwvEJqdxxldx2232223200000lllldvdwdwdvdwEJvqdxvEJEJdxdxdxdxdx等效积分形式等效积分弱形式113.3加权残量(余量)法基本概念1通过引入权函数/试函数，将近似解带入微分方程会有余值，在余值形式中引入权函数，把这种余值的加权积分，称为加权余值法。权，然后知轻重。----《孟子》采用使余量的加权积分为零求得微分方程近似解的方法，称为加权余量(余值、残量)法。123.3加权残量(余量)法基本概念1假定一个试函数作为方程的近似解niiiaNxuxu1)(~)(待定系数试函数(形函数)3）完备性。n时,uu~1）一定的连续条件。2）线性独立。试函数要满足：一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了真正的求解系数133.3加权残量(余量)法基本概念1假定某一科学问题的控制微分方程及边界条件为：xguBxfuA0)(0)(()()RAufRBug内部残量边界残量143.3加权残量(余量)法基本概念1权函数)1(njWvWvjj)1(0))~(())~((njdguBWdfuAWTjTj)1(0njdRWdRWTjTj用以下n个线性无关的函数来代替任意函数v和v等效积分形式强迫残值在某种平均意义上为零。153.3加权残量(余量)法基本概念1得到的是近似解。等效积分等效积分形式的近似方法，得到的是近似解。加权余量163.3加权残量(余量)法基本概念1出现在近似解中。满足一定的域内条件或边界条件。试函数出现在等效积分表达式中，不同的权函数涉及不同的计算格式。权函数173.3加权残量(余量)法配点法2(())0(1)TjWAufdjn取：)1()(njxxWWjjj)1(0))()(1njdfaNAxxniiij()0,()1,jjjjxxxxxxxx183.3加权残量(余量)法配点法2)1(0))()(1njdfaNAxxniiij1[(())]()0(1)nijijiANxafxjn()0,()1,jjjjxxxxxxxx相当于简单地强迫残值在域内的n个点上等于零。193.3加权残量(余量)法子域法3将求解域分为n个区域权函数如下确定：)1(njDj外）在内）在jjjDDW(0(1)1(0))(1njdfaNAjDniii则有：这种方法相当于强迫残值在n个子域内的积分等于零。203.3加权残量(余量)法最小二乘法4取权函数：jjaRW])([1faNAainiij)(jNA)1(0))()(1njdfaNANAniiij则有：这种方法相当于使域内每一点的残值的平方和最小，或平方的积分最小。213.3加权残量(余量)法Galerkin法5取权函数：jjNW)1(0))(1njdfaNANniiij则有：Galerkin法精度最高！223.3加权残量(余量)法例题622001duuxxdx边界条件：x=0，u=0；x=1，u=0取近似解：u=x(1-x)(a1+a2x+…)取一项近似解u1=a1x(1-x)余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)233.3加权残量(余量)法例题622001duuxxdx取x=1/2作为配点配点法1111172022472(1)7Raauxx余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)243.3加权残量(余量)法例题622001duuxxdx子域取全域即w=1子域法1121110011111()(2)02633(1)1111Rxdxxaxxdxaauxx余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)253.3加权残量(余量)法例题622001duuxxdx最小二乘法21112211001112()(2)(2)00.27230.2723(1)RxxaRRxdxxaxxxxdxaauxx余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)263.3加权残量(余量)法例题622001duuxxdx迦辽金法1111111121110011(1)(1)()(1)(2)055(1)1818uNaaxxWNxxRxNdxxxxaxxdxauxx余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)27线性、自伴随微分算子1如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法—Ritz法。3.4泛函与变分微分方程()0Lubin微分算子1212()()()LuuLuLu线性微分算子28线性、自伴随微分算子13.4泛函与变分对上式分部积分，直至u的导数消失，得：*()()..(,)LuvduLuvdbtuv若()Luvd定义为函数的内积，称L*为L的伴随算子。若L*=L，则称算子自伴随。293.4泛函与变分泛函最速落径问题--质量为m的小环从A处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）2ABXY设路径为y=y(x)22dydxds21ydsvdxdtdt30泛函2ABXYghv2212ydtdxgh201[()]2ayTyxdxgh称T为y(x)的泛函，y(x)为自变函数。即以函数作自变量以积分形式定义的函数为泛函。函数是变量与变量的关系，泛函是变量与函数的关系。泛函是一种广义的函数。3.4泛函与变分31变分3称为y(x)的变分，它是一个无穷小的任意函数。)()()(*xyxyxy()yxXAYy=y（x）x+dxdyx)(**xyy)(xy微分与变分运算次序可以交换)()(dxdyydxd积分与变分运算次序也可以交换2121))](,([)](,[xxxxdxxyxfdxxyxf3.4泛函与变分32变分原理4变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。3.4泛函与变分把一个数学物理问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有问题的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。Thankyou