向量积的行列式计算法

1表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,第二节矢量代数2规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;3§6.2.1矢量运算1.矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aababa4s3a4a5a2a1a54321aaaaas52.矢量的减法三角不等式a6aa3.数量与矢量的乘法是一个数,.a规定:;1aa可见;1aa与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律)(babaa则有单位向量.1aa因此aaa7空间一点在轴上的投影uAA过点A作轴u的垂直平面，交点A即为点A在轴u上的投影.4.矢量的射影8空间一向量在轴上的投影uAABB已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为BA,那么轴u上的有向线段BA的值，称为向量在轴u上的投影.9ABjuPr.BA向量AB在轴u上的投影记为关于向量的投影定理（1）向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：ABjuPrcos||AB证uABABBABjuPrABjuPrcos||ABu10定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,22)2(,)3(,2115.矢量的分解与矢量的坐标在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),,(zyxxoyzMNBCijkA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,r任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA126.矢量的模方向余弦方向数1.向量的模与两点间的距离公式222zyx),,,(zyxr设则有OMrxoyzMNQRP由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与,rOM作OMrOROQOP13oyzx方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量ba,的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,r为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.记作14oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz方向余弦的性质:15作业：p-25习题6.1-6.210，18，161M沿与力夹角为的直线移动,W1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为cossFsFW2Mba的与为baba,s§6.2.2两矢量的数量积17上的投影为在ab记作故,0,时当同理b数量积的基本性质为两个非零向量,则有bajrPbbabaajrP1)000.ABABAB，或，或,AB特别0AB0ba则0,0ba182)交换律3)结合律)(ba)()(ba)(ba)(ba4)分配律事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcjrPacjrPcbabacjrPccbaccjrPjrPacjrPcbcjrPccacb)(jrPbac19ABCabc例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBA2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,,20)(MB,)(MABM例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAMAMB.A解:,1,10,1,01则AMBcos10022AMB求MBMAMAMB故21引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPMM矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力FoPFMFM§6.2.3两矢量的矢量积22定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩思考:右图三角形面积abS＝234.数量积的坐标表示设则0zzyyxxbababa当为非零向量时,coszzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于cosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(kajaiazyx)(kbjbibzyxjikjikbaba两向量的夹角公式,得242.性质为非零向量,则，0sin或即01)0AA2),AB0ABAB,0,0时当baba∥0basinab05)分配律4)结合律BAcba)(cbca3)AB证明:ba)()(ba)(ba25)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(iibaxxibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk26向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zxzxbbaaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx27例4.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形ABC的面积解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21ABAC21ACAB求三28一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.Ml解:在轴l上引进一个角速度向量使a其在l上任取一点O,O作它与则点M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,sinr,,rv方向与旋转方向符合右手法则,向径291.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAVcba)(cba,,,cba的为cba,,,Abaccba,,以则其cba)(bacbacba§6.2.4两矢量的混合积30zyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),,(zyxaaaacbazyzybbaa,),,(zyxbbbb),,(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc313.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:][(可用三阶行列式推出)cbacba,,abc][abc][abcabc32例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.1A2A3A4A解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故6112xx12yy12zz13xx13yy13zz14xx14yy14zz,21AA,31AA41AA][413121AAAAAA33例7.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故A,B,C,D四点共面.][ADACAB34内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaazzyyxxbabababa),,(,),,(,),,(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba35混合积:2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbababazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba