平面向量测试题(卷)与详解

平面向量第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB→∥a，则实数y的值为()A．5B．6C．7D．8[答案]C[解析]AB→＝(3，y－1)，∵AB→∥a，∴31＝y－12，∴y＝7.(理)(2011·福州期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为()A．－2B．0C．1D．2[答案]D[解析]a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，∵a＋b与4b－2a平行，∴36＝x＋14x－2，∴x＝2，故选D.2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若AB→⊥a，则实数k的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]B[解析]AB→＝(2,3)，∵AB→⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.3．(2011·北京丰台期末)如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为()A．－3B．2C．－17D.17[答案]A[解析]由条件知，存在实数λ0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴k＝6λk＋λ＝1，∴k＝－3，故选A.4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于()A．－49B．－43C.43D.49[答案]A[解析]由条件知，PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·(2PM→)＝PA→·AP→＝－|PA→|2＝－23|MA→|2＝－49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB→、BC→分别为a、b，则AH→＝()A.25a－45bB.25a＋45bC．－25a＋45bD．－25a－45b[答案]B[解析]AF→＝b＋12a，DE→＝a－12b，设DH→＝λDE→，则DH→＝λa－12λb，∴AH→＝AD→＋DH→＝λa＋1－12λb，∵AH→与AF→共线且a、b不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH→＝25a＋45b.5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝()A．－3B．－1C．1D．3[答案]D[解析]∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝9＋n＋2＝n2＋2n＋10，又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，∴n2＋2n＋10＝n＋2，解之得n＝3，故选D.6．(2011·烟台调研)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．与P的位置有关[答案]B[解析]设BC边中点为D，则AP→·(AB→＋AC→)＝AP→·(2AD→)＝2|AP→|·|AD→|·cos∠PAD＝2|AD→|2＝6.7．(2011·河北冀州期末)设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件[答案]B[解析]|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，∵a、b都是非零向量，故选B.8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[解析]由条件知|a|＝5，|b|＝25，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝5，∵(a＋b)·c＝52，∴5×5·cosθ＝52，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°.∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→等于()A．2B．3C．4D．6[答案]B[解析]解法1：如图以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,3)，设M(x0，y0)，∵BM→＝2MA→，∴x0＝－x0y0－3＝－y0，∴x0＝2y0＝1，∴CM→·CB→＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B.解法2：∵BM→＝2MA→，∴BM→＝23BA→，∴CB→·CM→＝CB→·(CB→＋BM→)＝|CB→|2＋CB→·23BA→＝9＋23×3×32×－22＝3.(理)(2011·安徽百校联考)设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足x2＋y2－2x－2y＋1≥0，1≤x≤2，1≤y≤2，则OA→·OB→取得最大值时，点B的个数是()A．1B．2C．3D．无数[答案]A[解析]x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2＋(y－1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA→·OB→＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．10．(2011·宁夏银川一中检测)a，b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0[答案]D[分析]由于向量AC→，AB→有公共起点，因此三点A、B、C共线只要AC→，AB→共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC→＝λAB→，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．[解析]∵A、B、C共线，∴AC→，AB→共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC→＝λAB→，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量运算a⊕b＝(a1，a2)⊕(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝2，12，n＝π3，0，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足OQ→＝m⊕OP→＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值及最小正周期分别为()A．2；πB．2；4πC.12；4πD.12；π[答案]C[解析]设点Q(x′，y′)，则OQ→＝(x′，y′)，由新定义的运算法则可得：(x′，y′)＝2，12⊕(x，y)＋π3，0＝2x＋π3，12y，得x′＝2x＋π3y′＝12y，∴x＝12x′－π6y＝2y′，代入y＝sinx，得y′＝12sin12x′－π6，则f(x)＝12sin12x－π6，故选C.(理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC→＝λOE→＋μOF→其中λ，μ∈R，则λ＋μ是()A.83B.32C.53D．1[答案]B[解析]OF→＝OB→＋BF→＝OB→＋13OA→，OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋13OB→，相加得OE→＋OF→＝43(OA→＋OB→)＝43OC→，∴OC→＝34OE→＋34OF→，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝－12，则△ABC的形状为()A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．三边均不相等的三角形D．直角三角形[答案]A[分析]根据平面向量的概念与运算知，AB→|AB→|表示AB→方向上的单位向量，因此向量AB→|AB→|＋AC→|AC→|平行于角A的内角平分线．由AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0可知，角A的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB→|AB→|·AC→|AC→|＝－12可求角A.[解析]根据AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB→|AB→|·AC→|AC→|＝－12可知A＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．[点评]解答本题的关键是注意到向量AB→|AB→|，AC→|AC→|分别是向量AB→，AC→方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A的内角平分线共线．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．[答案]5[解析]3a＋b＝(3,6)＋(－2，y)＝(1,6＋y)，∵a∥b，∴－21＝y2，∴y＝－4，∴3a＋b＝(1,2)，∴|3a＋b|＝5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.[答案]23[解析]a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×12＝1，|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，∴|a＋2b|＝23.14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉为钝角，则λ的取值范围是________．[答案]λ－32且λ≠－3[解析]∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋60，∴λ－32，当a与b方向相反时，λ＝－3，∴λ－32且λ≠－3.15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y＝f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(m，－1)，b＝(m，－2)，则满足不等式f(a·b)f(－1)的m的取值范围为________．[答案]0≤m1[解析]由条件知f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)f(－1)得f(m＋2)f(3)，∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴m＋23，∴m1，∵m≥0，∴0≤m1.16．(2011·河北冀州期末)已知向量a＝sinθ，14，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)满足a⊥b且(a＋b)∥c，则实数m＝________.[答案]±522[解析]∵a⊥b，∴sinθcosθ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a＋b＝sinθ＋cosθ，54，(a＋b)∥c，∴m(sinθ＋cosθ)－52＝0，∴m＝5θ＋cosθ，∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sinθ＋cosθ＝±22，∴m＝±522.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b，x∈[0，π]．(1)求函数f(x)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小．[解析](1)f(x)＝a·b＝－cos2x＋3sinxcosx＝32sin2x－12cos2x－12＝sin2x－π6－12.∵x∈[0，π]，∴当x＝π3时，f(x)max＝1－12＝12.(2)由(1)知x＝π3，a＝－12，32，b＝12，32，