第一节-定积分的概念与性质

第五章定积分第一节定积分的概念与性质ABCD一、问题的提出我们平时在平面几何和立体几何中学到的都是非常规则的图形，如三角形、梯形、圆等等。xabyoEC它们的面积计算都由公式给定，理解也相对简单。但是，现实中还会有另外一些图形，它们的面积计算就无法由给定的公式给出。如右上图。这样的图形面积应该怎么计算呢？abxyo?A)(xfy考虑这样一个问题：由连续曲线y=f(x)()、x轴与两条直线x=a、x=b所围成的图形，这个图像成为曲边梯形(如图)，它的面积应当如何计算呢？],[,0)(baxxf由于不知道它的确切公式，所以只用用一种近似法的思路abxyoabxyo显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积把区间[a,b]区间划分成多个子区间，并以此为底构建多个小矩形，通过计算这些矩形的面积并对之求和，从而求得近似的曲边梯形的面积。观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间曲边梯形如图所示，abxyoix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间分割求曲边梯形的面积A的具体做法：把区间[a,b]分成n个小区间],[],[...],[],[112110nniixxxxxxxx，，，，，过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边矩形.abxyoix1x1ix1nx，上任取一点在每个小区间iiixx],[1取近似i以为底，为高的小矩形面积为iniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为求和取极限【实例1】（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.【思路】把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．(1)分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度(3)求和iinitvs)(1(4)取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值(2)取近似曲线下的面积AreaUnderaCurveHowtofindtheshadedareaunderthecurveofy＝f(x)fromx＝atox＝b?Asshownbelow:初等数学背景下，曲线下的面积(AreaUnderaCurve)是相当困难的问题。但是，运用定积分(TheDefiniteIntegral)解答，手到擒来【实例2】黎曼和RiemannSums一分为二，n=2一分为四,n=4一分为八,n=8一分为n，n→∞Asshownabove:德国数学家黎曼(BernhardRiemann)给出了一个巧妙的办法:Ⅰ.将曲线下的不规则图像近似切割成等宽的一个个小矩形(Rectangle);Ⅱ.测量所有小矩形的面积，累加所有小矩形的面积，得到一个面积和;Ⅲ.使用面积和估算曲线下的面积;Ⅳ.将小矩形切割得再小些，重复上述过程，使得估算值更为准确；Thatis,先把闭区间[a,b]分为n个子区间，把曲边形分割成n个小矩形。用n个小矩形估算n个小曲边形，我们使用Ai表述第i个小矩形的面积，n个小矩形的面积和:我们称为黎曼和(RiemannSums)17二、定积分的定义若f(x)是定义在闭区间[a，b]上的函数，如果存在，则f(x)在[a，b]上是可积分的，称此极限值为f(x)在[a，b]上的定积分。niinA1limniibanAdxxf1lim)(nniiAAAA....211我们将称为黎曼和。当函数值取左端点值时，称为左黎曼和。当函数值取右端点值时，称为左黎曼和。当函数值取中点值时，称为中点黎曼和。niiA1niiA1niiA1左黎曼和LeftRiemannSumsIfweusethefunctionvalueoftheletfpointoftheinterval,thesumiscalledaLeftRiemannSumL(n).Asshownbelow:LeftRiemannSumsSince,Then;And右黎曼和RightRiemannSumsIfweusethefunctionvalueoftherightpointoftheinterval,thesumiscalledaRightRiemannSumR(n).Asshownbelow:RightRiemannSumsSince,Then;And中黎曼和MidpointRiemannSumsIfweusethefunctionvalueofthemidpointoftheinterval,thesumiscalledaMidpointRiemannSumM(n).Asshownbelow:MidpointRiemannSumsSince,Then;AndWeget，And,wehavetheTrapezoidRule:梯形法则TrapezoidRuleNow,wefindtheareasofthestripsasshownbelowbyusingtrapezoids.Wedenotethebasesofthete1,y2,y3,...,yn+1,andtheheightsby.TrapezoidRulebaIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为积分上限积分下限积分和【注意】(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(而与积分变量的字母无关.（因为定积分是一个数值）(2)为了以后讨论方便，规定24,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义Example1:Approximatetheareaundercurvey=x2fromx=0tox=4usingfourleft-end-point/right-endpoint/midpointrectangleswithequalwidth.Solution:Dividetheintervaltofourequalinterval[0,1],[1,2],[2,3]and[3,4].LeftRiemannsum:RightRiemannsum:MidpointRiemannsum:Example2:Thefunctioniscontinuousontheclosedinterval[0,10]andhasvaluesasshowninthetableabove.Usingtheintervals[0,2][2,5][5,8]and[8,10],whatistheapproximationofobtainedfromarightRiemannsum?Solution:FromthedefinitionofRiemannsum=(−2)×2+(−1)×3+4×3+(−8)×2=−11x025810f(x)1−2−14−827显然，按定义计算定积分非常困难，须寻找新的途径计算定积分，接下来，介绍牛顿—莱布尼茨公式，从而建立了定积分与不定积分之间的联系，大大简化了定积分的计算。28注意到路程函数s(t)是速度函数v=v(t)的原函数，因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面的牛顿—莱布尼茨公式。另一方面，质点从某时刻a到时刻b所经过的路程记为s(b)−s(a),则s’(t)=v=v(t)，于是若质点以速度v=v(t)作变速直线运动，由定积分定义，质点从时刻a到b所经过的路程为，29函数f在[a,b]上满足条件：(i)f在[a,b]上连续；(ii)f在[a,b]上有原函数F；则(1)f在[a,b]上可积；设函数)(xf在],[ba上连续,)(xF是)(xf的任意一个原函数,则30四、微积分第一基础理论(牛顿-莱布尼茨公式)一个连续函数在区间],[ba上的定积分可用它的任意一个原函数在区间],[ba端点上的值来表示.注意：当ba时，上述公式仍成立.上述公式通常称为牛顿—莱布尼茨公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.31baaFbFdxxf)()()(通常称F(x)是f(x)的一个原函数(2)在计算定积分时，常常用符号来表示F(b)−F(a)，牛顿—莱布尼茨公式也可以写作(1)0的原函数＝___；(2)1的原函数＝________；(3)xα的原函数＝________＋c(α≠－1，x0)(4)1x的原函数＝________________(x≠0)；常见函数的原函数cx＋cxα＋1α＋1ln|x|＋c(5)ex的原函数＝________________；(6)ax的原函数＝________________；(7)cosx的原函数＝________________；(8)sinx的原函数＝________________.ex＋caxlna＋csinx＋c－cosx＋c;)1(,11d21Cxxx)(;||lnd13Cxxx)(;lnd4Caaxaxx)(基本积分表;)(d1为常数)(kCkxxk;ede,eCxaxx时当；)(Cxxxsindcos5；)(Cxxxcosdsin6；)(Cxxxtandsec72；)(Cxxxcotdcsc82；)(Cxxxxsecdtansec9；)(Cxxxxcscdcotcsc10；)(CxCxxxarccosarcsin1d112；)(CxCxxxcotarcarctan1d122例1求下列定积分：;d)1(4baxx解:由于Cxxx5d54因此babaxxx5d54).(5155ab解(2)求21021xdx606arcsin1|2102102xxdx402024dxxx(3)求解38)4(314|20232202xdxxx.11010e)1(dexxxxx解;de10xxx(4)求例2求.d102xx原式103|31x.31解例3求.d)1sincos2(20xxx原式20)cossin2(xxx.23解：42Example4:FindSolution:Example5:Ifand,thenf(e)=?Solution:在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小．对定积分的【补充规定】（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.【说明】六、定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1:（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（逐项积分）性质2:babadxxfkdxxkf)()((k为常数).badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.【补充】不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.［例］若,cba假设bca，性质3:cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bc