高中数学圆与方程典型例题

一、求圆的方程例1(06重庆卷文)以点为圆心且与直线相切的圆的方程为()(A)(B)(C)(D)解已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即，∴所求的圆方程为，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程即得圆的方程.二、位置关系问题例2(06安徽卷文)直线与圆没有公共点，则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)解化为标准方程，即得圆心和半径.∵直线与已知圆没有公共点，∴线心距，平方去分母得，解得，注意到，∴，故选(A).点评：一般通过比较线心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系：线圆相离；线圆相切；线圆相交.三、切线问题例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆相切的直线方程为()(A)或(B)或(C)或(D)或解化为标准方程,即得圆心和半径.设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选(A).点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4(06天津卷理)设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则.解由已知圆，即得圆心和半径.∵线心距，且，∴，即，解得.点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：.五、夹角问题例5(06全国卷一文)从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)0解已知圆化为，即得圆心和半径.设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，，∴，故选(B).点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.六、圆心角问题例6(06全国卷二)过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率.解由已知圆，即得圆心和半径.设，则；∵直线时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线的斜率.点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7(06湖南卷文)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)(D)解已知圆化为，即得圆心和半径.设线心距为，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∴，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为，最小距离为.八、综合问题例8(06湖南卷理)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是()(A)(B)(C)(D)解已知圆化为，即得圆心和半径.∵圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴，即，由直线的斜率代入得，解得，又，，∴直线的倾斜角的取值范围是，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.解析：圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）0，得2－3b2+3.由韦达定理得x1+x2=－（4－b），x1·x2=.y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2=+4b.∵·=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.解得b=1∈（2－3，2+3）.∴所求的直线方程为y=－x+1.7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=－.（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=－2±，故（y－x）min=－2－.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，（x2+y2）min=｜OB｜=2－.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB==－1，AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组x－y+1=0，的解，即圆心坐标为（－1，0）.y=0半径r==，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.因为M1到圆心C（－1，0）的距离为=，|M1C|r，所以M1在圆C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|==，所以M2在圆C外.经过两已知圆的交点的圆系例．设圆方程为：其中－4求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。证明：把所给方程写为：这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：所以，不论为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点直线与圆的位置关系例3：从圆外一点向圆引割线，交该圆于、两点，求弦解：如图7-53-2，设的中点连接，，，∵，∴，即∴∴，轴对称1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程．解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即．整理得解得．故所求的直线方程是，或，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．直线和圆4．（12分）已知圆C:及直线.（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:弦长例题】已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.【思考与分析】一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.解法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B坐标即方程组的解，从方程组中消去x可得：5y2-8y+2=0，又A、B在直线l∶x+2y-2=0上，即x1+2y1-2=0，x2+2y2-2=0，A